Упр.30.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2ИИ
Варианты решения:
Исследовать функции на монотонность и экстремумыС пояснением
а) Нули выражения \(x^3 - 3x\): \(x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\). На промежутках, где оно положительно, \(y' = 3x^2 - 3\); где отрицательно, \(y' = 3 - 3x^2\). Производная также обращается в нуль при \(x = -1\) и \(x = 1\).
По знакам производной функция возрастает на \([-\sqrt{3}; -1]\), \([0; 1]\), \([\sqrt{3}; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; -\sqrt{3}]\), \([-1; 0]\), \([1; \sqrt{3}]\).
Минимумы: \(y = 0\) при \(x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\). Максимумы: \(y = 2\) при \(x = -1, 1\).б) Нули выражения \(x - x^3\): \(x = -1, 0, 1\). Там, где оно положительно, \(y' = 1 - 3x^2\); где отрицательно, \(y' = 3x^2 - 1\). Производная также обращается в нуль при \(x = \pm 1/\sqrt{3}\).
По знакам производной функция возрастает на \([-1; -\frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([0; \frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([1; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; -1]\), \([-\frac{1}{\sqrt{3}}; 0]\), \([\frac{1}{\sqrt{3}}; 1]\).
Минимумы: y = 0 при x = −1, 0, 1. Максимумы: \(y = \frac{2}{3\sqrt{3}}\) при \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).Ответ: промежутки монотонности и экстремумы указаны выше.
Кратко а) По знакам производной: возрастает на \([-\sqrt{3}; -1]\), \([0; 1]\), \([\sqrt{3}; +\infty)\); убывает на \((-\infty; -\sqrt{3}]\), \([-1; 0]\), \([1; \sqrt{3}]\). Минимумы: \(y = 0\) при \(x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\); максимумы: \(y = 2\) при \(x = -1, 1\).б) По знакам производной: возрастает на \([-1; -\frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([0; \frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([1; +\infty)\); убывает на \((-\infty; -1]\), \([-\frac{1}{\sqrt{3}}; 0]\), \([\frac{1}{\sqrt{3}}; 1]\). Минимумы: \(y = 0\) при \(x = -1, 0, 1\); максимумы: \(y = \frac{2}{3\sqrt{3}}\) при \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).Ответ: промежутки монотонности и экстремумы указаны выше.
По знакам производной функция возрастает на \([-\sqrt{3}; -1]\), \([0; 1]\), \([\sqrt{3}; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; -\sqrt{3}]\), \([-1; 0]\), \([1; \sqrt{3}]\).
Минимумы: \(y = 0\) при \(x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\). Максимумы: \(y = 2\) при \(x = -1, 1\).б) Нули выражения \(x - x^3\): \(x = -1, 0, 1\). Там, где оно положительно, \(y' = 1 - 3x^2\); где отрицательно, \(y' = 3x^2 - 1\). Производная также обращается в нуль при \(x = \pm 1/\sqrt{3}\).
По знакам производной функция возрастает на \([-1; -\frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([0; \frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([1; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; -1]\), \([-\frac{1}{\sqrt{3}}; 0]\), \([\frac{1}{\sqrt{3}}; 1]\).
Минимумы: y = 0 при x = −1, 0, 1. Максимумы: \(y = \frac{2}{3\sqrt{3}}\) при \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).Ответ: промежутки монотонности и экстремумы указаны выше.
Кратко а) По знакам производной: возрастает на \([-\sqrt{3}; -1]\), \([0; 1]\), \([\sqrt{3}; +\infty)\); убывает на \((-\infty; -\sqrt{3}]\), \([-1; 0]\), \([1; \sqrt{3}]\). Минимумы: \(y = 0\) при \(x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\); максимумы: \(y = 2\) при \(x = -1, 1\).б) По знакам производной: возрастает на \([-1; -\frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([0; \frac{1}{\sqrt{3}}]\), \([1; +\infty)\); убывает на \((-\infty; -1]\), \([-\frac{1}{\sqrt{3}}; 0]\), \([\frac{1}{\sqrt{3}}; 1]\). Минимумы: \(y = 0\) при \(x = -1, 0, 1\); максимумы: \(y = \frac{2}{3\sqrt{3}}\) при \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).Ответ: промежутки монотонности и экстремумы указаны выше.
Рассмотрим базовую функцию
\(h(t)=|t^3-t|\).Сначала исследуем кубическую функцию \(q(t)=t^3-t\). Её нули: −1, 0, 1, а производная
возрастает на \([−1;−1/\sqrt{3}]\), \([0;1/\sqrt{3}]\), \([1;+\infty)\);
убывает на \((−\infty;−1]\), \([−1/\sqrt{3};0]\), \([1/\sqrt{3};1]\).В точках \(t=-1, 0, 1\) функция имеет минимумы, равные \(0\). В точках \(t=\pm1/\sqrt{3}\) она имеет локальные максимумы:
\(\displaystyle h(\pm\dfrac{1}{\sqrt3})=\dfrac{2}{3\sqrt3}\).
Следовательно, для функции из пункта б):
возрастает на \([−1;−1/\sqrt{3}]\), \([0;1/\sqrt{3}]\), \([1;+\infty)\);
убывает на \((−\infty;−1]\), \([−1/\sqrt{3};0]\), \([1/\sqrt{3};1]\);
минимумы равны 0 при \(x=-1, 0, 1\);
локальные максимумы равны \(\dfrac{2}{3\sqrt3}\) при \(x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\).Теперь выразим функцию из пункта а) через h:
\(\displaystyle |x^3-3x|=3\sqrt3\cdot h(\dfrac{x}{\sqrt3})\).
Значит, график \(h\) растянут в \(\sqrt{3}\) раза вдоль оси \(Ox\) и в \(3\sqrt{3}\) раза вдоль оси \(Oy\). Все абсциссы характерных точек умножаются на \(\sqrt{3}\), а значения функции — на \(3\sqrt{3}\).Поэтому функция из пункта а):
возрастает на \([−\sqrt{3};−1]\), \([0;1]\), \([\sqrt{3};+\infty)\);
убывает на \((−\infty;−\sqrt{3}]\), \([−1;0]\), \([1;\sqrt{3}]\).
Минимумы равны 0 при \(x=-\sqrt3, 0, \sqrt3\). Локальные максимумы достигаются при \(x=\pm1\) и равны
\(\displaystyle 3\sqrt3\cdot\dfrac{2}{3\sqrt3}=2\).Обе функции не имеют наибольшего значения, поскольку не ограничены сверху.
\(h(t)=|t^3-t|\).Сначала исследуем кубическую функцию \(q(t)=t^3-t\). Её нули: −1, 0, 1, а производная
\(q'(t)=3t^2-1\)
обращается в нуль при \(t=\pm 1/\sqrt{3}\).Функция \(q\) возрастает при \(|t|>1/\sqrt{3}\) и убывает при \(|t|<1/\sqrt{3}\). При переходе к \(h(t)=|q(t)|\) части графика q, расположенные ниже оси Ox, отражаются относительно этой оси. Поэтому h:возрастает на \([−1;−1/\sqrt{3}]\), \([0;1/\sqrt{3}]\), \([1;+\infty)\);
убывает на \((−\infty;−1]\), \([−1/\sqrt{3};0]\), \([1/\sqrt{3};1]\).В точках \(t=-1, 0, 1\) функция имеет минимумы, равные \(0\). В точках \(t=\pm1/\sqrt{3}\) она имеет локальные максимумы:
\(\displaystyle h(\pm\dfrac{1}{\sqrt3})=\dfrac{2}{3\sqrt3}\).
Следовательно, для функции из пункта б):
возрастает на \([−1;−1/\sqrt{3}]\), \([0;1/\sqrt{3}]\), \([1;+\infty)\);
убывает на \((−\infty;−1]\), \([−1/\sqrt{3};0]\), \([1/\sqrt{3};1]\);
минимумы равны 0 при \(x=-1, 0, 1\);
локальные максимумы равны \(\dfrac{2}{3\sqrt3}\) при \(x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\).Теперь выразим функцию из пункта а) через h:
\(\displaystyle |x^3-3x|=3\sqrt3\cdot h(\dfrac{x}{\sqrt3})\).
Значит, график \(h\) растянут в \(\sqrt{3}\) раза вдоль оси \(Ox\) и в \(3\sqrt{3}\) раза вдоль оси \(Oy\). Все абсциссы характерных точек умножаются на \(\sqrt{3}\), а значения функции — на \(3\sqrt{3}\).Поэтому функция из пункта а):
возрастает на \([−\sqrt{3};−1]\), \([0;1]\), \([\sqrt{3};+\infty)\);
убывает на \((−\infty;−\sqrt{3}]\), \([−1;0]\), \([1;\sqrt{3}]\).
Минимумы равны 0 при \(x=-\sqrt3, 0, \sqrt3\). Локальные максимумы достигаются при \(x=\pm1\) и равны
\(\displaystyle 3\sqrt3\cdot\dfrac{2}{3\sqrt3}=2\).Обе функции не имеют наибольшего значения, поскольку не ограничены сверху.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) y = |x^3 - 3x|;
б) y = |x - x^3|.
