Упр.1264 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
![Изображение 1264 Пусть 0 < а < b. Доказать, что на числовой оси: 1) точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b]; 2) точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а;...](/reshebniki/algebra/10/alimov/images1/1264.png "Изображение ответа 1264 Пусть 0 < а < b. Доказать, что на числовой оси: 1) точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b]; 2) точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а;...")
Решение #2
![Изображение 1264 Пусть 0 < а < b. Доказать, что на числовой оси: 1) точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b]; 2) точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а;...](/reshebniki/algebra/10/alimov/new/1264.png "Изображение ответа 1264 Пусть 0 < а < b. Доказать, что на числовой оси: 1) точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b]; 2) точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а;...")
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите расположение точек на числовой осиС пояснением
1) Пусть \(m = \dfrac{a + b}{2}\). Тогда \(m - a = \dfrac{b - a}{2}\) и \(b - m = \dfrac{b - a}{2}\). Эти расстояния положительны и равны, значит, m — середина отрезка [a; b].
2) Пусть x = (a + bc)/(1 + c). Поскольку b > a и c > 0, имеем \(x - a = c(b - a)/(1 + c) > 0\) и \(b - x = (b - a)/(1 + c) > 0\). Следовательно, a < x < b.
Ответ: первое утверждение доказано; вторая точка лежит внутри отрезка.
Кратко 1) \((a + b)/2 - a = b - (a + b)/2 = (b - a)/2 > 0\), поэтому точка является серединой отрезка.
2) При \(x = (a + bc)/(1 + c)\) имеем \(x - a = c(b - a)/(1 + c) > 0\), \(b - x = (b - a)/(1 + c) > 0\). Значит, a < x < b.
Ответ: оба утверждения доказаны.
2) Пусть x = (a + bc)/(1 + c). Поскольку b > a и c > 0, имеем \(x - a = c(b - a)/(1 + c) > 0\) и \(b - x = (b - a)/(1 + c) > 0\). Следовательно, a < x < b.
Ответ: первое утверждение доказано; вторая точка лежит внутри отрезка.
Кратко 1) \((a + b)/2 - a = b - (a + b)/2 = (b - a)/2 > 0\), поэтому точка является серединой отрезка.
2) При \(x = (a + bc)/(1 + c)\) имеем \(x - a = c(b - a)/(1 + c) > 0\), \(b - x = (b - a)/(1 + c) > 0\). Значит, a < x < b.
Ответ: оба утверждения доказаны.
Любая точка отрезка [a; b] имеет координату \(a+t(b-a)\), где \(0\le t\le 1\).1) При \(t=1/2\) получаем
\[a+\frac{1}{2}(b-a)=\frac{a+b}{2}.\]
Параметр t=1/2 соответствует половине пути от a до b, поэтому точка \((a+b)/2\) является серединой отрезка.2) Преобразуем координату точки:\[\frac{a+bc}{1+c}=a+\frac{c}{1+c}(b-a).\]
Так как \(c>0\), то\(0<c/(1+c)<1\).Следовательно, эта точка соответствует параметру \(t=\dfrac{c}{1+c}\), лежащему строго между 0 и 1. Поэтому точка находится внутри отрезка [a; b].
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Пусть 0 < а < b. Доказать, что на числовой оси:
1) точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b];
2) точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а; b].
