Упр.1260 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Могут ли результаты действий быть рациональными?С пояснением
1) Да. Числа \(\sqrt{2}\) и \(2 − \sqrt{2}\) положительны и иррациональны, а их сумма равна 2.
2) Да. Например, \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).
3) Да. Возьмём неравные положительные иррациональные числа \(\sqrt{2}\) и \(2 + \sqrt{2}\). Их сумма и произведение равны \(2 + 2\sqrt{2}\), поэтому частное равно 1.
Ответ: во всех трёх случаях может.
Кратко 1) \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\).
2) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).
3) \(\dfrac{\sqrt{2}+(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}\cdot(2+\sqrt{2})}=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}=1\).
Ответ: во всех трёх случаях может.
2) Да. Например, \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).
3) Да. Возьмём неравные положительные иррациональные числа \(\sqrt{2}\) и \(2 + \sqrt{2}\). Их сумма и произведение равны \(2 + 2\sqrt{2}\), поэтому частное равно 1.
Ответ: во всех трёх случаях может.
Кратко 1) \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\).
2) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).
3) \(\dfrac{\sqrt{2}+(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}\cdot(2+\sqrt{2})}=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}=1\).
Ответ: во всех трёх случаях может.
Пусть t — положительное иррациональное число, а r — положительное рациональное число.1) Выберем r>t. Тогда числа t и r−t положительны и иррациональны. Действительно, если бы r−t было рациональным, то \(t=r-(r-t)\) также было бы рациональным. При этом
\(t+(r−t)=r\),
то есть сумма рациональна.2) Числа t и r/t иррациональны. Если бы r/t было рациональным, то t как частное двух ненулевых рациональных чисел оказалось бы рациональным. Их произведение равно
\(t+(r−t)=r\),
то есть сумма рациональна.2) Числа t и r/t иррациональны. Если бы r/t было рациональным, то t как частное двух ненулевых рациональных чисел оказалось бы рациональным. Их произведение равно
\[t\cdot\frac{r}{t}=r,\]
то есть рационально.3) Выберем r>t и \(t≠r/2\). Возьмём числа\[x=\frac{1}{t},\quad y=\frac{1}{r-t}.\]
Они положительны, иррациональны и не равны. Тогда\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=t+(r-t)=r,\]
то есть полученное частное рационально.Следовательно, во всех трёх случаях результат может быть рациональным числом.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Может ли быть рациональным числом:
1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
2) произведение двух иррациональных чисел;
3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
