Упр.1261 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Доказать утверждения о рациональности корнейС пояснением
Так как b — натуральное число, b ≠ 0 и
\(\displaystyle \sqrt{a/b} = \sqrt{ab}/b\), \(\sqrt{ab} = b\sqrt{a/b}\).1) Если \(\sqrt{ab}\) рационально, то \(\sqrt{a/b}\) рационально как частное рационального числа и ненулевого натурального числа \(b\).2) Пусть \(\sqrt{ab}\) иррационально. Если бы \(\sqrt{a/b}\) было рациональным, то и произведение \(b\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}\) было бы рациональным. Получили противоречие, значит, \(\sqrt{a/b}\) иррационально.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко \(\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}/b\), где \(b \ne 0\). Поэтому рациональность \(\sqrt{ab}\) влечёт рациональность \(\sqrt{a/b}\).Если же \(\sqrt{ab}\) иррационально, то \(\sqrt{a/b}\) тоже иррационально: иначе число \(b\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}\) было бы рациональным.Ответ: оба утверждения доказаны.
\(\displaystyle \sqrt{a/b} = \sqrt{ab}/b\), \(\sqrt{ab} = b\sqrt{a/b}\).1) Если \(\sqrt{ab}\) рационально, то \(\sqrt{a/b}\) рационально как частное рационального числа и ненулевого натурального числа \(b\).2) Пусть \(\sqrt{ab}\) иррационально. Если бы \(\sqrt{a/b}\) было рациональным, то и произведение \(b\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}\) было бы рациональным. Получили противоречие, значит, \(\sqrt{a/b}\) иррационально.Ответ: оба утверждения доказаны.
Кратко \(\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}/b\), где \(b \ne 0\). Поэтому рациональность \(\sqrt{ab}\) влечёт рациональность \(\sqrt{a/b}\).Если же \(\sqrt{ab}\) иррационально, то \(\sqrt{a/b}\) тоже иррационально: иначе число \(b\sqrt{a/b} = \sqrt{ab}\) было бы рациональным.Ответ: оба утверждения доказаны.
Разложим числа на простые множители:
\[
a=\prod p_i^{\alpha_i},\qquad b=\prod p_i^{\beta_i},
\]
где отсутствующему множителю соответствует показатель 0.Тогда\[
ab=\prod p_i^{\alpha_i+\beta_i},\qquad \frac ab=\prod p_i^{\alpha_i-\beta_i}.
\]
Квадратный корень из положительного рационального числа рационален тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители все показатели чётны. Показатели могут быть и отрицательными, если число является дробью.Для каждого \(i\) числа \(\alpha_i+\beta_i\) и \(\alpha_i-\beta_i\) имеют одинаковую чётность, поскольку их разность равна \(2\beta_i\).Поэтому, если \(\sqrt{ab}\) рационально, то все показатели \(\alpha_i+\beta_i\) чётны. Следовательно, все показатели \(\alpha_i-\beta_i\) также чётны, а значит, \(\sqrt{a/b}\) рационально.Если же \(\sqrt{ab}\) иррационально, то хотя бы один показатель \(\alpha_i+\beta_i\) нечётен. Тогда показатель \(\alpha_i-\beta_i\) той же чётности тоже нечётен, поэтому \(\sqrt{a/b}\) иррационально.Оба утверждения доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Доказать, что если а и b — натуральные числа и корень ab — рациональное число, то — также рациональное число, а если корень ab — иррациональное число, то и корень (a/b) — иррациональное число.
