Упр.1042 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти k, при котором площадь наименьшаяС пояснением
Обозначим \(a = (k − p)/2\). Разность ординат прямой и параболы равна
Кратко Пусть \(a = (k − p)/2\). Разность ординат прямой и параболы равна \(1 + a^2 − (x − a)^2\). После сдвига фигуры на −a вдоль оси Ox длины её вертикальных сечений определяются выражением \(1 + a^2 − x^2\). Они наименьшие при a = 0; тогда и площадь наименьшая. Значит, \(k − p = 0\).Ответ: k = p.
\[kx + 1 - (x^2 + px) = 1 + a^2 - (x - a)^2.\]
Сдвинем фигуру вдоль оси \(Ox\) на \(−a\). Длина её вертикального сечения при \(x = t\) станет равной \(1 + a^2 − t^2\) там, где эта величина неотрицательна.При \(a = 0\) соответствующая длина равна \(1 − t^2\). При любом \(a ≠ 0\) сечения новой фигуры длиннее, а область их существования шире. Значит, её площадь больше. Поэтому минимум достигается при \(a = 0\), то есть при \(k = p\).Ответ: k = p.Кратко Пусть \(a = (k − p)/2\). Разность ординат прямой и параболы равна \(1 + a^2 − (x − a)^2\). После сдвига фигуры на −a вдоль оси Ox длины её вертикальных сечений определяются выражением \(1 + a^2 − x^2\). Они наименьшие при a = 0; тогда и площадь наименьшая. Значит, \(k − p = 0\).Ответ: k = p.
Положим \(a = \frac{k-p}{2}\), тогда \(k = p + 2a\). Введём координаты
\[X = x - a,\]
\[Y = y - (p + 2a)X - (a^2 + pa).\]
Это преобразование состоит из переноса и сдвига плоскости, поэтому сохраняет площадь. Парабола при этом переходит в\[Y = X^2,\]
а прямая — в\[Y = 1 + a^2.\]
Обозначим \(H = 1 + a^2\). Полученная фигура ограничена параболой \(Y = X^2\) и прямой \(Y = H\).Теперь выполним масштабирование\[X = \sqrt{H}\cdot u,\]
\[Y = H\cdot v.\]
Тогда границы фигуры переходят в \(v = u^2\) и \(v = 1\), то есть в одну и ту же стандартную фигуру, не зависящую от a. При таком масштабировании горизонтальные размеры увеличиваются в \(\sqrt{H}\) раз, а вертикальные — в \(H\) раз. Поэтому площадь исходной фигуры равна\[S = S_0\cdot H\sqrt{H},\]
где S₀ — постоянная положительная площадь стандартной фигуры.Так как \(H = 1 + a^2 \geq 1\), величина \(H\sqrt{H}\) наименьшая при \(a = 0\). Следовательно,\[\frac{k-p}{2} = 0,\]
откуда \(k = p\).Ответ: \(k = p\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой у — х2 + рх, где р — заданное число, и прямой у = kx + 1, наименьшая?
