Упр.1038 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти площади фигур, ограниченных заданными линиямиС пояснением
1) Графики \(y = 1/x\) и \(y = 4x\) пересекаются при \(x = 1/2\). На отрезке [0; 1/2] верхняя граница фигуры — прямая \(y = 4x\), а на [1/2; 1] — график \(y = 1/x\).
Кратко 1) x пересечения равен 1/2; \(S = \int_0^{1/2} 4x\,dx + \int_{1/2}^1 dx/x = 1/2 + \ln 2\).
2) x пересечения равен 1; \(S = \int_0^1 x\,dx + \int_1^2 dx/x^2 = 1\).
3) \(x\) пересечения: \(0\) и \(1\); \(S = \int_0^1 (x − x^2)\,dx = 1/6\).
4) \(x\) пересечения: \(0\) и \(2\); \(S = \int_0^2 (2x − x^2)\,dx = 4/3\).Ответ: 1) 1/2 + ln 2; 2) 1; 3) 1/6; 4) 4/3.
\[S_1 = \int_0^{1/2} 4x\,dx + \int_{1/2}^1 \frac{dx}{x} = \frac{1}{2} + \ln 2.\]
2) Графики \(y = 1/x^2\) и \(y = x\) пересекаются при \(x = 1\). Поэтому\[S_2 = \int_0^1 x\,dx + \int_1^2 \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.\]
3) Точки пересечения находятся из уравнения \(x^2 + 1 = x + 1\): \(x = 0\) и \(x = 1\). На этом промежутке прямая расположена выше параболы.\[S_3 = \int_0^1 ((x + 1) - (x^2 + 1))\,dx = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{6}.\]
4) Из уравнения \(x^2 + 2 = 2x + 2\) получаем \(x = 0\) и \(x = 2\). На этом промежутке прямая расположена выше параболы.\[S_4 = \int_0^2 ((2x + 2) - (x^2 + 2))\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \frac{4}{3}.\]
Ответ: 1) 1/2 + ln 2; 2) 1; 3) 1/6; 4) 4/3.Кратко 1) x пересечения равен 1/2; \(S = \int_0^{1/2} 4x\,dx + \int_{1/2}^1 dx/x = 1/2 + \ln 2\).
2) x пересечения равен 1; \(S = \int_0^1 x\,dx + \int_1^2 dx/x^2 = 1\).
3) \(x\) пересечения: \(0\) и \(1\); \(S = \int_0^1 (x − x^2)\,dx = 1/6\).
4) \(x\) пересечения: \(0\) и \(2\); \(S = \int_0^2 (2x − x^2)\,dx = 4/3\).Ответ: 1) 1/2 + ln 2; 2) 1; 3) 1/6; 4) 4/3.
1) Точки смены правой границы имеют ординаты 1 и 2. Прямая задаётся как \(x=\dfrac{y}{4}\), гипербола — как \(x=\dfrac{1}{y}\). Поэтому
\[S_1=\int_0^1\left(1-\frac{y}{4}\right)dy+\int_1^2\left(\frac{1}{y}-\frac{y}{4}\right)dy=\frac{7}{8}+\left(\ln 2-\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{2}+\ln 2.\]
2) Прямая задаётся как \(x=y\), гипербола — как \(x=\dfrac{1}{\sqrt{y}}\). При \(x=2\) гипербола имеет ординату \(1/4\), а точка пересечения графиков — ординату 1. Поэтому\[S_2=\int_0^{1/4}(2-y)dy+\int_{1/4}^1\left(\frac{1}{\sqrt{y}}-y\right)dy\]
\[=\frac{15}{32}+\frac{17}{32}=1.\]
3) Точки пересечения имеют ординаты 1 и 2. Из уравнений границ получаем \(x=y-1\) и \(x=\sqrt{y-1}\). Следовательно,\[S_3=\int_1^2\left(\sqrt{y-1}-(y-1)\right)dy=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.\]
4) Ординаты точек пересечения равны 2 и 6. Положим \(t=y-2\). Тогда прямая задаёт левую границу \(x=\dfrac{t}{2}\), а правая ветвь параболы — правую границу \(x=\sqrt{t}\), где \(0\le t\le 4\). Поэтому\[S_4=\int_0^4\left(\sqrt{t}-\frac{t}{2}\right)dt=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}.\]
Ответ: 1) \(1/2+\ln2\); 2) \(1\); 3) \(1/6\); 4) \(4/3\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039).
1038 1) у = 1/x, у= 4х, х = 1, у = 0;
2) у = 1/x2, у = х, х = 2, у = 0;
3) у = х2 + 1, у = х + 1;
4) у = х2 + 2, у = 2х + 2.
