Упр.965 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2019)
Решение #3 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите кратность значений выраженийС пояснением
а) Представим 65 как \(81-2^4\):
Кратко а) \(83^4 + 65 = (83^4 - 2^4) + 81 = 81(83^3 + 2\cdot83^2 + 4\cdot83 + 9)\), значит, выражение кратно 81.б) \(141^{10} + 88 = (141^{10} - 2^{10}) + 8\cdot139 = 139(141^9 + 141^8\cdot2 + \ldots + 2^9 + 8)\), значит, выражение кратно 139.Ответ: кратность доказана.
\[83^4 + 65 = (83^4 - 2^4) + 81 =\]
\[= (83 - 2)(83^3 + 2\cdot83^2 + 4\cdot83 + 8) + 81 =\]
\[= 81(83^3 + 2\cdot83^2 + 4\cdot83 + 9).\]
Следовательно, выражение кратно 81.б) Представим 88 как \(8\cdot139 - 2^{10}\):\[141^{10} + 88 = (141^{10} - 2^{10}) + 8\cdot139 =\]
\[= (141 - 2)(141^9 + 141^8\cdot2 + \ldots + 2^9) + 8\cdot139 =\]
\[= 139(141^9 + 141^8\cdot2 + \ldots + 2^9 + 8).\]
Следовательно, выражение кратно 139.Ответ: кратность доказана.Кратко а) \(83^4 + 65 = (83^4 - 2^4) + 81 = 81(83^3 + 2\cdot83^2 + 4\cdot83 + 9)\), значит, выражение кратно 81.б) \(141^{10} + 88 = (141^{10} - 2^{10}) + 8\cdot139 = 139(141^9 + 141^8\cdot2 + \ldots + 2^9 + 8)\), значит, выражение кратно 139.Ответ: кратность доказана.
а) \(83 = 81 + 2\), поэтому
Далее
Поэтому
\[83^{2} = (81 + 2)^{2} = 81^{2} + 4\cdot81 + 4 = 81\cdot85 + 4.\]
Тогда\[83^{4} = (81\cdot85 + 4)^{2} = 81(81\cdot85^{2} + 8\cdot85) + 16.\]
Следовательно,\[83^{4} + 65 = 81(81\cdot85^{2} + 8\cdot85) + 81 = 81(81\cdot85^{2} + 8\cdot85 + 1),\]
то есть выражение кратно 81.б) \(141 = 139 + 2\), поэтому\[141^{2} = (139 + 2)^{2} = 139\cdot143 + 4.\]
Обозначим 143 через A. Тогда\[141^{4} = (139A + 4)^{2} = 139(139A^{2} + 8A) + 16 = 139B + 16,\]
где B — целое число.Далее
\[141^{5} = (139 + 2)(139B + 16) = 139(139B + 2B + 16) + 32 = 139C + 32,\]
где C — целое число.Поэтому
\[141^{10} = (139C + 32)^{2} = 139(139C^{2} + 64C) + 1024.\]
Так как \(1024 + 88 = 1112 = 8\cdot139\), то\[141^{10} + 88 = 139(139C^{2} + 64C + 8).\]
Следовательно, выражение кратно 139.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Решите уравнение:
а) x3 - x = 0;
б) 9x - x3 = 0;
в) x3 + x2 = 0;
г) 5x4 - 20x2 = 0.
Задание учебника 2019 года
Докажите, что значение выражения:
а) 83^4 + 65 кратно 81;
б) 141^10 + 88 кратно 139.
