Упр.40.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найдите значения параметра, при которых нет корнейС пояснением
а) Пусть \(t = 4^x\), тогда \(t > 0\). Получаем:
\((48 − 16a)t = a − 27\).
При a = 3 уравнение не имеет решений. При a ≠ 3 имеем \(t = \frac{a − 27}{48 − 16a}\). Эта дробь положительна только при \(3 < a < 27\). Значит, корней нет при \(a ≤ 3\) или \(a ≥ 27\).б) Пусть \(t = 3^x\), тогда \(t > 0\). Получаем:
\(t^2 + 6at + 9 = 0\), откуда \(a = −\frac{t^2 + 9}{6t}\).
Так как \(t^2 + 9 ≥ 6t\), то a ≤ −1. Равенство достигается при \(t = 3\), а все значения a < −1 также получаются при положительных t. Значит, корней нет при \(a > −1\).Ответ: а) a ∈ (−∞; 3] ∪ [27; +∞); б) a ∈ (−1; +∞).
Кратко а) Пусть \(t = 4^x > 0\). Тогда \((48 − 16a)t = a − 27\). Положительное \(t\) существует только при \(3 < a < 27\).б) Пусть \(t = 3^x > 0\). Тогда \(t^2 + 6at + 9 = 0\), \(a = −\frac{t^2 + 9}{6t} ≤ −1\). Все значения \(a ≤ −1\) достижимы.Ответ: а) a ∈ (−∞; 3] ∪ [27; +∞); б) a ∈ (−1; +∞).
\((48 − 16a)t = a − 27\).
При a = 3 уравнение не имеет решений. При a ≠ 3 имеем \(t = \frac{a − 27}{48 − 16a}\). Эта дробь положительна только при \(3 < a < 27\). Значит, корней нет при \(a ≤ 3\) или \(a ≥ 27\).б) Пусть \(t = 3^x\), тогда \(t > 0\). Получаем:
\(t^2 + 6at + 9 = 0\), откуда \(a = −\frac{t^2 + 9}{6t}\).
Так как \(t^2 + 9 ≥ 6t\), то a ≤ −1. Равенство достигается при \(t = 3\), а все значения a < −1 также получаются при положительных t. Значит, корней нет при \(a > −1\).Ответ: а) a ∈ (−∞; 3] ∪ [27; +∞); б) a ∈ (−1; +∞).
Кратко а) Пусть \(t = 4^x > 0\). Тогда \((48 − 16a)t = a − 27\). Положительное \(t\) существует только при \(3 < a < 27\).б) Пусть \(t = 3^x > 0\). Тогда \(t^2 + 6at + 9 = 0\), \(a = −\frac{t^2 + 9}{6t} ≤ −1\). Все значения \(a ≤ −1\) достижимы.Ответ: а) a ∈ (−∞; 3] ∪ [27; +∞); б) a ∈ (−1; +∞).
а) Выразим параметр через показательную функцию:\(\displaystyle a = \dfrac{48\cdot 4^x + 27}{16\cdot 4^x + 1} = 3 + \dfrac{24}{16\cdot 4^x + 1}\).Поскольку \(4^x > 0\), имеем \(16\cdot 4^x + 1 > 1\), поэтому\(\displaystyle 0 < \frac{24}{16\cdot 4^x + 1} < 24\).При изменении x по всем действительным значениям эта дробь принимает все значения из интервала (0; 24). Следовательно, уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда \(3 < a < 27\). Значит, корней нет при\(a \in (-\infty; 3] \cup [27; +\infty)\).б) Обозначим \(t = 3^x\), тогда \(t > 0\), а уравнение принимает вид\(t^2 + 6at + 9 = 0\).Его дискриминант:\(D = 36a^2 - 36 = 36(a^2 - 1)\).При \(|a| < 1\) действительных корней t нет. При \(a \geq 1\) корни, если они существуют, отрицательны: их произведение равно \(9 > 0\), а сумма равна \(-6a < 0\). При \(a \leq -1\) дискриминант неотрицателен, произведение корней положительно, а сумма −6a положительна, поэтому оба корня положительны. Каждому положительному t соответствует действительное \(x = \log_3 t\).Следовательно, исходное уравнение имеет корни при \(a \leq -1\), а не имеет корней при\(a \in (-1; +\infty)\).Ответ: а) (−∞; 3] ∪ [27; +∞); б) (−1; +∞).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Найдите, при каких значениях параметра а уравнение не имеет корней:
а) 48 * 4^х + 27 = а + а * 4^(х + 2);
б) 9^x + 2а * 3^(х + 1) + 9 = 0.
