Упр.24.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Определите монотонность последовательностейС пояснением
а) \(y_1 = -2\), \(y_2 = 4\), \(y_3 = -8\). Так как \(y_1 < y_2\) и \(y_2 > y_3\), последовательность не является монотонной.
б) При увеличении n угол \(\pi\)/(n + 5) уменьшается и остаётся на промежутке (0; \(\pi\)). Косинус на этом промежутке убывает, поэтому его значение возрастает. Последовательность строго возрастающая.
в) При увеличении n значение \(n^3\) растёт, поэтому \(n^3 - 5\) также растёт. Последовательность строго возрастающая.
г) При увеличении n значение n + 8 растёт; функция квадратного корня возрастающая. Следовательно, последовательность строго возрастающая.
Ответ: а) не монотонна; б), в), г) строго возрастают.
Кратко а) \(y_1 = -2 < y_2 = 4\), но \(y_2 > y_3\) = −8: последовательность не монотонна.
б) \(\pi\)/(n + 5) убывает, а косинус на (0; \(\pi\)) убывает, поэтому последовательность возрастает.
в) \(n^3 - 5\) возрастает при увеличении n.
г) \(\sqrt{n + 8}\) возрастает при увеличении n.
Ответ: а) не монотонна; б), в), г) строго возрастают.
б) При увеличении n угол \(\pi\)/(n + 5) уменьшается и остаётся на промежутке (0; \(\pi\)). Косинус на этом промежутке убывает, поэтому его значение возрастает. Последовательность строго возрастающая.
в) При увеличении n значение \(n^3\) растёт, поэтому \(n^3 - 5\) также растёт. Последовательность строго возрастающая.
г) При увеличении n значение n + 8 растёт; функция квадратного корня возрастающая. Следовательно, последовательность строго возрастающая.
Ответ: а) не монотонна; б), в), г) строго возрастают.
Кратко а) \(y_1 = -2 < y_2 = 4\), но \(y_2 > y_3\) = −8: последовательность не монотонна.
б) \(\pi\)/(n + 5) убывает, а косинус на (0; \(\pi\)) убывает, поэтому последовательность возрастает.
в) \(n^3 - 5\) возрастает при увеличении n.
г) \(\sqrt{n + 8}\) возрастает при увеличении n.
Ответ: а) не монотонна; б), в), г) строго возрастают.
а) \(y_{n+1}-y_n=(-2)^{n+1}-(-2)^n=-3(-2)^n\). Знак этой разности чередуется: при \(n=1\) разность положительна, при \(n=2\) отрицательна. Поэтому последовательность не монотонна.б) Обозначим \(A=\pi/(n+6)\), \(B=\pi/(n+5)\). Тогда \(0<A<B<\)\(\pi\) и
\[y_{n+1}-y_n=\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right).\]
Здесь sin((A+B)/2)>0, а sin((A-B)/2)<0, поэтому y_{n+1}-y_n>0. Последовательность строго возрастающая.в) \(y_{n+1}-y_n=(n+1)^3-5-(n^3-5)=3n^2+3n+1>0\). Следовательно, последовательность строго возрастающая.г) \(y_{n+1}-y_n=\sqrt{n+9}-\sqrt{n+8}=\frac{1}{\sqrt{n+9}+\sqrt{n+8}}>0\). Следовательно, последовательность строго возрастающая.Ответ: а) не монотонна; б), в), г) строго возрастают.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) yn = (-2)^n;
б) yn = cos пи / (n + 5);
в) yn = n3 - 5;
г) yn = корень(n + 8).
