Упр.16.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тождества с обратными тригонометрическими функциямиС пояснением
Область определения обоих выражений: x ∈ [−1; 1].а) По свойству арккосинуса arccos(−x) = \(\pi\) − arccos x. Тогда
\(\cos(\arcsin x + \arcsin(−x)) = \cos\) 0 = 1.Ответ: оба тождества доказаны.
Кратко При x ∈ [−1; 1]:
а) arccos(−x) = \(\pi\) − arccos x, поэтому \(\sin(\arccos x + \arccos(-x))\) = sin \(\pi\) = 0.
б) \(\arcsin(−x) = −\arcsin x\), поэтому \(\cos(\arcsin x + \arcsin(−x)) = \cos 0 = 1\).Ответ: тождества доказаны.
\(\sin(\arccos x + \arccos(−x)) = \sin\)
\(\pi\) = 0.б) По свойству арксинуса \(\arcsin(-x) = -\arcsin x\). Тогда\(\cos(\arcsin x + \arcsin(−x)) = \cos\) 0 = 1.Ответ: оба тождества доказаны.
Кратко При x ∈ [−1; 1]:
а) arccos(−x) = \(\pi\) − arccos x, поэтому \(\sin(\arccos x + \arccos(-x))\) = sin \(\pi\) = 0.
б) \(\arcsin(−x) = −\arcsin x\), поэтому \(\cos(\arcsin x + \arcsin(−x)) = \cos 0 = 1\).Ответ: тождества доказаны.
При x ∈ [−1; 1] имеем:\(\displaystyle \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}\),
\(\displaystyle \sin(\arccos(-x))=\sqrt{1-x^2}\),
\(\displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}\),
\(\displaystyle \cos(\arcsin(-x))=\sqrt{1-x^2}\).а) По формуле синуса суммы:
\(\displaystyle \sin(\arccos(-x))=\sqrt{1-x^2}\),
\(\displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}\),
\(\displaystyle \cos(\arcsin(-x))=\sqrt{1-x^2}\).а) По формуле синуса суммы:
\[\sin(\arccos x+\arccos(-x))=\]
\[\sin(\arccos x)\cos(\arccos(-x))+\cos(\arccos x)\sin(\arccos(-x))=\]
\[\sqrt{1-x^2}\cdot(-x)+x\cdot\sqrt{1-x^2}=0.\]
б) По формуле косинуса суммы:\[\cos(\arcsin x+\arcsin(-x))=\]
\[\cos(\arcsin x)\cos(\arcsin(-x))-\sin(\arcsin x)\sin(\arcsin(-x))=\]
\[\sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-x^2}-x\cdot(-x)=1-x^2+x^2=1.\]
Оба тождества доказаны при x ∈ [−1; 1].
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
а) sin (arccos x + arccos (-x)) = 0;
б) cos (arcsin x + arcsin (-x)) = 1.
