Упр.600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тождество для арксинуса синусаС пояснением
По определению \(\arcsin x\) — это единственное число из отрезка \([{-}\pi/2; \pi/2]\), синус которого равен x.
Так как a принадлежит этому отрезку и его синус равен \(\sin a\), то \(\arcsin(\sin a) = a\).
Ответ: равенство доказано.
Кратко Число a принадлежит \([-\pi/2; \pi/2]\) и имеет синус \(\sin a\). Поэтому по определению арксинуса \(\arcsin(\sin a) = a\).
Ответ: равенство доказано.
Так как a принадлежит этому отрезку и его синус равен \(\sin a\), то \(\arcsin(\sin a) = a\).
Ответ: равенство доказано.
Кратко Число a принадлежит \([-\pi/2; \pi/2]\) и имеет синус \(\sin a\). Поэтому по определению арксинуса \(\arcsin(\sin a) = a\).
Ответ: равенство доказано.
Обозначим \(y=\arcsin(\sin a)\). Тогда \(y\in[-\pi/2;\pi/2]\) и \(\sin y=\sin a\).Общее решение уравнения \(\sin y=\sin a\) имеет вид:
\(y=a+2\pi n\) или \(y=\pi-a+2\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\).Поскольку a и y принадлежат отрезку \([−\pi/2;\pi/2]\), в первой серии возможно только \(n=0\), поэтому \(y=a\).Во второй серии значение y может попасть на этот отрезок лишь при \(a=\pi/2\), \(n=0\) или при \(a=-\pi/2\), \(n=-1\). В обоих случаях также y = a.Следовательно, \(\arcsin(\sin a)=a\) при \(-\pi/2\leq a\leq\pi/2\).
\(y=a+2\pi n\) или \(y=\pi-a+2\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\).Поскольку a и y принадлежат отрезку \([−\pi/2;\pi/2]\), в первой серии возможно только \(n=0\), поэтому \(y=a\).Во второй серии значение y может попасть на этот отрезок лишь при \(a=\pi/2\), \(n=0\) или при \(a=-\pi/2\), \(n=-1\). В обоих случаях также y = a.Следовательно, \(\arcsin(\sin a)=a\) при \(-\pi/2\leq a\leq\pi/2\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Доказать, что arcsin (sin а) = а при -пи/2 < = а < =пи/2. Вычислить:
1) 7arcsin(sin пи/7);
2) 4arcsin(sin 1/2);
3) arcsin(sin 6пи/7);
4) arcsin (sin5).
