Упр.544 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тождество и вычислите суммы тангенсовС пояснением
При \(\cos a \ne 0\) и \(\cos b \ne 0\) имеем:
\(\displaystyle \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b = \dfrac{\sin a}{\cos a} + \dfrac{\sin b}{\cos b} = \dfrac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} = \dfrac{\sin(a + b)}{\cos a \cos b}\).
Тождество доказано по формуле синуса суммы.Применим его для вычислений:
1) \(\operatorname{tg} 267° + \operatorname{tg} 93° = \frac{\sin 360°}{\cos 267°\cos 93°} = 0\).
2) \(\operatorname{tg}(5\pi/12) + \operatorname{tg}(7\pi/12) = \frac{\sin \pi}{\cos(5\pi/12)\cos(7\pi/12)} = 0\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
Кратко При \(\cos a \ne 0\), \(\cos b \ne 0\):
\(\displaystyle \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b = \dfrac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} = \dfrac{\sin(a + b)}{\cos a \cos b}\).1) \(\operatorname{tg} 267° + \operatorname{tg} 93° = \frac{\sin 360°}{\cos 267°\cos 93°} = 0\).
2) \(\operatorname{tg}(5\pi/12) + \operatorname{tg}(7\pi/12) = \frac{\sin \pi}{\cos(5\pi/12)\cos(7\pi/12)} = 0\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
\(\displaystyle \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b = \dfrac{\sin a}{\cos a} + \dfrac{\sin b}{\cos b} = \dfrac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} = \dfrac{\sin(a + b)}{\cos a \cos b}\).
Тождество доказано по формуле синуса суммы.Применим его для вычислений:
1) \(\operatorname{tg} 267° + \operatorname{tg} 93° = \frac{\sin 360°}{\cos 267°\cos 93°} = 0\).
2) \(\operatorname{tg}(5\pi/12) + \operatorname{tg}(7\pi/12) = \frac{\sin \pi}{\cos(5\pi/12)\cos(7\pi/12)} = 0\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
Кратко При \(\cos a \ne 0\), \(\cos b \ne 0\):
\(\displaystyle \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b = \dfrac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} = \dfrac{\sin(a + b)}{\cos a \cos b}\).1) \(\operatorname{tg} 267° + \operatorname{tg} 93° = \frac{\sin 360°}{\cos 267°\cos 93°} = 0\).
2) \(\operatorname{tg}(5\pi/12) + \operatorname{tg}(7\pi/12) = \frac{\sin \pi}{\cos(5\pi/12)\cos(7\pi/12)} = 0\).
Ответ: 1) 0; 2) 0.
Пусть \(\cos a \ne 0\) и \(\cos b \ne 0\).Если \(\cos(a+b) \ne 0\), то по формуле тангенса суммы
\[\operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a\cdot\operatorname{tg} b}.\]
Следовательно,\[\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b=\operatorname{tg}(a+b)(1-\operatorname{tg} a\cdot\operatorname{tg} b)\]
\[=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}\cdot\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\cos a\cos b}\]
\[=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}\cdot\frac{\cos(a+b)}{\cos a\cos b}\]
\[=\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}.\]
Если \(\cos(a+b)=0\), то \(a+b=\pi/2+\pi k\). Тогда \(b=\pi/2-a+\pi k\), поэтому \(\operatorname{tg} b=\operatorname{ctg} a\). Кроме того,\[\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b=\operatorname{tg} a+\operatorname{ctg} a\]
\[=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}\]
\[=\frac{1}{\sin a\cos a}.\]
При этом \(\sin(a+b)=(-1)^k\) и \(\cos b=(-1)^k\sin a\), поэтому\[\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}=\frac{1}{\sin a\cos a}.\]
Таким образом, тождество доказано во всей области его определения.1) \(\operatorname{tg} 267°=\operatorname{tg} 87°=\operatorname{tg}(90°-3°)=\operatorname{ctg} 3°\),\(\operatorname{tg} 93°=\operatorname{tg}(90°+3°)=-\operatorname{ctg} 3°\).Поэтому \(\operatorname{tg} 267°+\operatorname{tg} 93°=0\).2) \(\operatorname{tg}(5\pi/12)=\operatorname{tg}(\pi/2-\pi/12)=\operatorname{ctg}(\pi/12)\),\(\operatorname{tg}(7\pi/12)=\operatorname{tg}(\pi/2+\pi/12)=-\operatorname{ctg}(\pi/12)\).Поэтому \(\operatorname{tg}(5\pi/12)+\operatorname{tg}(7\pi/12)=0\).Ответ: 1) 0; 2) 0.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Доказать тождество tga+tgb=sin(a+b)/cosacosb и вычислить:
1) tg 267 + tg 93;
2) tg 5пи/12 + tg 7пи/12.
