Упр.542 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Доказать тригонометрические тождестваС пояснением
1) Применим формулы разности квадратов и косинуса разности:
\(\displaystyle \cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)+\sin 2a=\cos 2a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos(2a-\pi/4)\).2) Утверждение неверно. При \(a = 0\) левая часть равна \(1 − (−1/2) + (−1/2) = 1\), а не \(0\).3) Преобразуем числитель и знаменатель:
\(\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a=2\sin a\cos a+2\sin a\cos 4a=2\sin a(\cos a+\cos 4a)\);
\(\cos a+1-2\sin^2 2a=\cos a+\cos 4a\).
При ненулевом знаменателе дробь равна \(2 \sin a\).Ответ: тождества 1 и 3 доказаны; утверждение 2 неверно.
Кратко 1) \(\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\cos 2a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos(2a-\pi/4)\).
2) При a = 0 левая часть равна 1, поэтому равенство неверно.
3) Числитель равен \(2\sin a(\cos a + \cos 4a)\), знаменатель — \(\cos a + \cos 4a\). Поэтому дробь равна \(2 \sin a\) при ненулевом знаменателе.
Ответ: тождества 1 и 3 верны; утверждение 2 неверно.
\(\displaystyle \cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)+\sin 2a=\cos 2a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos(2a-\pi/4)\).2) Утверждение неверно. При \(a = 0\) левая часть равна \(1 − (−1/2) + (−1/2) = 1\), а не \(0\).3) Преобразуем числитель и знаменатель:
\(\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a=2\sin a\cos a+2\sin a\cos 4a=2\sin a(\cos a+\cos 4a)\);
\(\cos a+1-2\sin^2 2a=\cos a+\cos 4a\).
При ненулевом знаменателе дробь равна \(2 \sin a\).Ответ: тождества 1 и 3 доказаны; утверждение 2 неверно.
Кратко 1) \(\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\cos 2a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos(2a-\pi/4)\).
2) При a = 0 левая часть равна 1, поэтому равенство неверно.
3) Числитель равен \(2\sin a(\cos a + \cos 4a)\), знаменатель — \(\cos a + \cos 4a\). Поэтому дробь равна \(2 \sin a\) при ненулевом знаменателе.
Ответ: тождества 1 и 3 верны; утверждение 2 неверно.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Доказать тождество:
1) cos4a - sin4a + sin2a= корень 2 cos( 2a- пи/4);
2) cosa - cos(2пи/3+a) + cos(2пи/3-a)=0;
3)(sin2a+sin5a-sin3a)/(cosa+1-2sin2 2a)= 2sina.
