Упр.713 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти части высоты, разделённой биссектрисойС пояснением
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, BD — высота, AE — биссектриса угла A, E лежит на BD.1) Так как BD — высота равнобедренного треугольника, то она является медианой:
AD = AC : 2.
Поэтому AD : AB = 2 : 3.2) В треугольнике ABD по свойству биссектрисы:
BE : ED = AB : AD = 3 : 2.3) 3 + 2 = 5 (частей) — вся высота.4) 30 : 5 = 6 (см) — длина одной части.5) BE = 6 · 3 = 18 (см),
ED = 6 · 2 = 12 (см).Ответ: 18 см и 12 см.
Кратко Пусть E — точка пересечения биссектрисы с высотой. Так как высота равнобедренного треугольника является медианой, то AB : AD = 3 : 2. По свойству биссектрисы BE : ED = 3 : 2.1) 30 : (3 + 2) = 6 (см)
2) 6 · 3 = 18 (см)
3) 6 · 2 = 12 (см)Ответ: 18 см и 12 см.
AD = AC : 2.
Поэтому AD : AB = 2 : 3.2) В треугольнике ABD по свойству биссектрисы:
BE : ED = AB : AD = 3 : 2.3) 3 + 2 = 5 (частей) — вся высота.4) 30 : 5 = 6 (см) — длина одной части.5) BE = 6 · 3 = 18 (см),
ED = 6 · 2 = 12 (см).Ответ: 18 см и 12 см.
Кратко Пусть E — точка пересечения биссектрисы с высотой. Так как высота равнобедренного треугольника является медианой, то AB : AD = 3 : 2. По свойству биссектрисы BE : ED = 3 : 2.1) 30 : (3 + 2) = 6 (см)
2) 6 · 3 = 18 (см)
3) 6 · 2 = 12 (см)Ответ: 18 см и 12 см.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать постоянство периметра AMN и угла MONС пояснением
1) Из одной точки к окружности проведённые касательные равны, поэтому:
MB = MX, NC = NX, AB = AC.2) Так как X лежит между M и N, то
MN = MX + XN = MB + NC.
Следовательно,
PAMN = AM + AN + MN = AM + MB + AN + NC = AB + AC = 2AB.
Значит, периметр треугольника AMN не зависит от положения точки X.3) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Поэтому треугольники OBM и OXM — прямоугольные. У них общая гипотенуза OM и равные катеты OB = OX, значит, эти треугольники равны. Отсюда
∠BOM = ∠MOX,
то есть OM — биссектриса угла BOX.4) Аналогично прямоугольные треугольники OXN и OCN равны, поэтому
∠XON = ∠NOC,
то есть ON — биссектриса угла XOC.5) Следовательно,
∠MON = ∠MOX + ∠XON = 1/2 ∠BOX + 1/2 ∠XOC = 1/2 ∠BOC.
Угол BOC постоянен, поэтому угол MON не зависит от выбора точки X.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC, поэтому обе величины постоянны.
Кратко MB = MX и NC = NX как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Поэтому
PAMN = AM + AN + MN = AM + AN + MB + NC = AB + AC = 2AB.Из равенства прямоугольных треугольников OBM и OXM следует, что OM — биссектриса ∠BOX. Аналогично ON — биссектриса ∠XOC. Значит,
∠MON = 1/2∠BOX + 1/2∠XOC = 1/2∠BOC.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC. Эти величины не зависят от точки X.
MB = MX, NC = NX, AB = AC.2) Так как X лежит между M и N, то
MN = MX + XN = MB + NC.
Следовательно,
PAMN = AM + AN + MN = AM + MB + AN + NC = AB + AC = 2AB.
Значит, периметр треугольника AMN не зависит от положения точки X.3) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Поэтому треугольники OBM и OXM — прямоугольные. У них общая гипотенуза OM и равные катеты OB = OX, значит, эти треугольники равны. Отсюда
∠BOM = ∠MOX,
то есть OM — биссектриса угла BOX.4) Аналогично прямоугольные треугольники OXN и OCN равны, поэтому
∠XON = ∠NOC,
то есть ON — биссектриса угла XOC.5) Следовательно,
∠MON = ∠MOX + ∠XON = 1/2 ∠BOX + 1/2 ∠XOC = 1/2 ∠BOC.
Угол BOC постоянен, поэтому угол MON не зависит от выбора точки X.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC, поэтому обе величины постоянны.
Кратко MB = MX и NC = NX как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Поэтому
PAMN = AM + AN + MN = AM + AN + MB + NC = AB + AC = 2AB.Из равенства прямоугольных треугольников OBM и OXM следует, что OM — биссектриса ∠BOX. Аналогично ON — биссектриса ∠XOC. Значит,
∠MON = 1/2∠BOX + 1/2∠XOC = 1/2∠BOC.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC. Эти величины не зависят от точки X.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
Задание учебника 2023 года
Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
