Упр.712 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найдите отношение OK:ONС пояснением
1) Так как O — точка пересечения биссектрис треугольника, расстояния от O до его сторон равны. Поэтому площади треугольников MON, NOP и MOP относятся как длины их оснований:
S(MON):S(NOP):S(MOP)=MN:NP:MP=5:3:7.Пусть S(MON)=5x, S(NOP)=3x, S(MOP)=7x.2) По свойству биссектрисы NK:
MK:KP=MN:NP=5:3.Значит,
S(MOK)=5/8·S(MOP)=5/8·7x=35x/8.3) Треугольники MON и MOK имеют общую высоту, проведённую из M к прямой NK. Поэтому их площади относятся как основания ON и OK:
ON:OK=S(MON):S(MOK)=5x:35x/8=8:7.Следовательно, OK:ON=7:8.Ответ: 7:8.
Кратко По свойству биссектрисы MK:KP=5:3. Используя равенство расстояний от O до сторон треугольника и сравнение площадей, получаем ON:OK=8:7.Ответ: OK:ON=7:8.
S(MON):S(NOP):S(MOP)=MN:NP:MP=5:3:7.Пусть S(MON)=5x, S(NOP)=3x, S(MOP)=7x.2) По свойству биссектрисы NK:
MK:KP=MN:NP=5:3.Значит,
S(MOK)=5/8·S(MOP)=5/8·7x=35x/8.3) Треугольники MON и MOK имеют общую высоту, проведённую из M к прямой NK. Поэтому их площади относятся как основания ON и OK:
ON:OK=S(MON):S(MOK)=5x:35x/8=8:7.Следовательно, OK:ON=7:8.Ответ: 7:8.
Кратко По свойству биссектрисы MK:KP=5:3. Используя равенство расстояний от O до сторон треугольника и сравнение площадей, получаем ON:OK=8:7.Ответ: OK:ON=7:8.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать пересечение касательных к концам хордыС пояснением
Пусть AB — хорда окружности, не являющаяся диаметром, O — центр окружности. Через точки A и B проведены касательные a и b.1) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: OA ⟂ a и OB ⟂ b.
2) Предположим, что a ∥ b. Тогда OA и OB, перпендикулярные параллельным прямым, лежат на одной прямой.
3) Значит, точки A, O и B лежат на одной прямой, поэтому хорда AB проходит через центр окружности и является диаметром. Это противоречит условию.
4) Следовательно, касательные a и b не параллельны, а потому пересекаются.Ответ: касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, пересекаются.
Кратко Пусть AB — данная хорда, O — центр окружности. Касательные в точках A и B перпендикулярны радиусам OA и OB. Если бы касательные были параллельны, то радиусы OA и OB лежали бы на одной прямой. Тогда AB проходила бы через центр O и являлась диаметром, что противоречит условию. Значит, касательные не параллельны и пересекаются.Ответ: касательные пересекаются.
2) Предположим, что a ∥ b. Тогда OA и OB, перпендикулярные параллельным прямым, лежат на одной прямой.
3) Значит, точки A, O и B лежат на одной прямой, поэтому хорда AB проходит через центр окружности и является диаметром. Это противоречит условию.
4) Следовательно, касательные a и b не параллельны, а потому пересекаются.Ответ: касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, пересекаются.
Кратко Пусть AB — данная хорда, O — центр окружности. Касательные в точках A и B перпендикулярны радиусам OA и OB. Если бы касательные были параллельны, то радиусы OA и OB лежали бы на одной прямой. Тогда AB проходила бы через центр O и являлась диаметром, что противоречит условию. Значит, касательные не параллельны и пересекаются.Ответ: касательные пересекаются.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK:ON, если MN = 5 см, NP =3 см, МР = 7 см.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
