Упр.916 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Исследуйте делимость \(p^2 - 1\) на 12С пояснением
1) Проверим примеры: при \(p = 5\) получаем \(5^2 - 1 = 24\); при \(p = 7\) получаем \(7^2 - 1 = 48\). Оба числа делятся на 12.
2) По формуле разности квадратов \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Простое число \(p > 3\) нечётное, поэтому оба множителя чётные. Значит, их произведение делится на 4.
3) Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Число p не делится на 3, так как оно простое и больше 3. Значит, на 3 делится один из множителей p − 1 или p + 1.
4) Произведение делится на 4 и на 3, поэтому оно делится на 12.
Ответ: да, утверждение верно.
Кратко 1) При \(p = 5\): \(5^2 - 1 = 24\); при \(p = 7\): \(7^2 - 1 = 48\). Оба результата кратны 12.
2) \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Оба множителя чётные, поэтому произведение кратно 4.
3) Одно из чисел p − 1, p, p + 1 кратно 3. Так как простое p > 3 не кратно 3, на 3 делится один из множителей.
4) Произведение кратно и 4, и 3, значит, оно кратно 12.
Ответ: да, утверждение верно.
2) По формуле разности квадратов \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Простое число \(p > 3\) нечётное, поэтому оба множителя чётные. Значит, их произведение делится на 4.
3) Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3. Число p не делится на 3, так как оно простое и больше 3. Значит, на 3 делится один из множителей p − 1 или p + 1.
4) Произведение делится на 4 и на 3, поэтому оно делится на 12.
Ответ: да, утверждение верно.
Кратко 1) При \(p = 5\): \(5^2 - 1 = 24\); при \(p = 7\): \(7^2 - 1 = 48\). Оба результата кратны 12.
2) \(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\). Оба множителя чётные, поэтому произведение кратно 4.
3) Одно из чисел p − 1, p, p + 1 кратно 3. Так как простое p > 3 не кратно 3, на 3 делится один из множителей.
4) Произведение кратно и 4, и 3, значит, оно кратно 12.
Ответ: да, утверждение верно.
Доказать делимость \(p^2 - 1\) на 121) Возьмём \(p = 11\) и \(p = 13\):
\[11^2 - 1 = 120 = 12 \cdot 10;\]
\[13^2 - 1 = 168 = 12 \cdot 14.\]
Утверждение выполняется.2) По формуле разности квадратов:\[p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1).\]
Простое число p > 3 нечётное, поэтому p − 1 и p + 1 — два соседних чётных числа. Одно из них делится на 4, следовательно, произведение (p − 1)(p + 1) кратно 4.3) Среди трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно обязательно делится на 3. Число p не делится на 3, поскольку оно простое и p > 3. Значит, на 3 делится p − 1 или p + 1, поэтому их произведение кратно 3.4) Число \(p^2 - 1\) делится и на 4, и на 3. Следовательно, оно делится на 12.Ответ: да, утверждение верно.Решение #4(Учебник 2019)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
(Задача-исследование.) Верно ли, что если р — простое число, большее трёх, то значение выражения р2 - 1 кратно 12.
1) Проверьте правильность утверждения рИС 73 на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен р2 - 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
Пусть p – произвольное простое число большее трёх.
1) p=7:
p^2-1=7^2-1=49-1=48=12•4 – значение выражения кратно 12, так как один из множителей равен 12.
p=5:
p^2-1=5^2-1=25-1=24=12•2 – значение выражения кратно 12, так как один из множителей равен 12.
2) p^2-1=(p-1)(p+1)
Так как p – простое число большее трёх, значит p – нечётное число.
Тогда выражения p-1 и p+1 будут чётными, следовательно, они будут делиться на 2.
Так как p-1 кратно 2 и p+1 кратно 2, то их произведение кратно 4.
3) Для любых трёх последовательных натуральных чисел, хотя бы одно из них будет делиться на 3.
Это связано с тем, что все натуральные числа можно разбить на группы: 1, 2, 3 – 4, 5, 6 – 7, 8, 9 …, в каждой из которых хотя бы одно число делится на 3 (при любых других разбиениях на тройки данное свойство будет сохраняться).
Так как p – простое число больше трёх, значит оно на 3 не делится, соответственно на 3 будет делиться либо p-1, либо
p+1. При этом каждое из них ещё делится и на 2.
4) Из пунктов 2 и 3 получили, что выражение кратно 4 и кратно 3, соответственно выражение будет кратно 2•2•3=4•3=12.
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2019 года
Докажите, что равенство не является тождеством:
а) х4 + 4 = (х + 2)2;
б) (х - 2)(2 + х) = 4 - х2.
