Упр.872 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2026)
Решение #3 (Учебник 2026)ИИ
Варианты решения:
Объяснить геометрический смысл разности квадратовС пояснением
1) Площадь прямоугольника со сторонами a − b и a + b равна (a − b)(a + b).
2) По рисунку этот прямоугольник можно получить из квадрата со стороной a: из него вырезают квадрат со стороной b и прямоугольник со сторонами b и a − b, а затем такой же прямоугольник присоединяют с другой стороны. Площадь при этом равна \(a^{2}-b^{2}-b(a-b)+b(a-b)=a^{2}-b^{2}\).
Ответ: \((a − b)(a + b) = a^2 − b^2\): обе части равенства выражают площадь одного прямоугольника.
Кратко Площадь прямоугольника равна (a − b)(a + b). По рисунку она также равна площади квадрата со стороной a без квадрата со стороной b: прямоугольник площадью b(a − b) вырезают и присоединяют к другой части фигуры.
Ответ: \((a − b)(a + b) = a^2 − b^2\).
2) По рисунку этот прямоугольник можно получить из квадрата со стороной a: из него вырезают квадрат со стороной b и прямоугольник со сторонами b и a − b, а затем такой же прямоугольник присоединяют с другой стороны. Площадь при этом равна \(a^{2}-b^{2}-b(a-b)+b(a-b)=a^{2}-b^{2}\).
Ответ: \((a − b)(a + b) = a^2 − b^2\): обе части равенства выражают площадь одного прямоугольника.
Кратко Площадь прямоугольника равна (a − b)(a + b). По рисунку она также равна площади квадрата со стороной a без квадрата со стороной b: прямоугольник площадью b(a − b) вырезают и присоединяют к другой части фигуры.
Ответ: \((a − b)(a + b) = a^2 − b^2\).
Объяснить геометрический смысл разности квадратовИз квадрата со стороной a вырежем квадрат со стороной b. Оставшуюся фигуру разделим на два прямоугольника со сторонами a и a − b, b и a − b. Их общая площадь:
\(a^2 − b^2\).
Значит, (a − b)(a + b) = \(a^2 − b^2\).
Ответ: (a − b)(a + b) = \(a^2 − b^2\).
\[a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b).\]
С другой стороны, площадь этой фигуры равна разности площадей квадратов:\(a^2 − b^2\).
Значит, (a − b)(a + b) = \(a^2 − b^2\).
Ответ: (a − b)(a + b) = \(a^2 − b^2\).
Решение #4(Учебник 2019)
Решение #5(Учебник 2019)
Решение #6 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите свойство квадрата целого числаПусть n — любое целое число. Тогда предыдущее число равно n − 1, а последующее — n + 1.
\((n - 1)(n + 1) = n^2 - 1\), следовательно, \(n^2 = (n - 1)(n + 1) + 1\).
Ответ: утверждение доказано.
\((n - 1)(n + 1) = n^2 - 1\), следовательно, \(n^2 = (n - 1)(n + 1) + 1\).
Ответ: утверждение доказано.
Сначала пусть n — положительное целое число. Из квадрата со стороной n уберём полосу размером 1 × n. Останется прямоугольник со сторонами n − 1 и n. Затем добавим к нему полосу размером 1 × (n − 1). Получится прямоугольник со сторонами n − 1 и n + 1.Мы убрали n единичных квадратов, а добавили n − 1, поэтому площадь полученного прямоугольника на 1 меньше площади исходного квадрата. Значит,
\(n^2 = (n - 1)(n + 1) + 1\).Если \(n < 0\), обозначим \(k = -n\), где \(k > 0\). Тогда \(n^2 = k^2\), а
\((n - 1)(n + 1) = (-k - 1)(-k + 1) = (k + 1)(k - 1)\).
Для положительного \(k\) уже доказано, что \(k^2\) на 1 больше этого произведения.При \(n = 0\):
\(0^2 = (-1) \cdot 1 + 1 = 0\).Следовательно, утверждение верно для любого целого числа.
\(n^2 = (n - 1)(n + 1) + 1\).Если \(n < 0\), обозначим \(k = -n\), где \(k > 0\). Тогда \(n^2 = k^2\), а
\((n - 1)(n + 1) = (-k - 1)(-k + 1) = (k + 1)(k - 1)\).
Для положительного \(k\) уже доказано, что \(k^2\) на 1 больше этого произведения.При \(n = 0\):
\(0^2 = (-1) \cdot 1 + 1 = 0\).Следовательно, утверждение верно для любого целого числа.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы (а - b) (а + b) = а2 - b2 для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.
Площадь прямоугольника со сторонами a-b и a+b равна S=(a-b)(a+b).
Также данную площадь можно определить отняв от площади квадрата со стороной a, площади прямоугольника со сторонами b и a-b и площадь квадрата со стороной b и прибавив площадь прямоугольника со сторонами b и a-b.
Площадь квадрата со стороной a равна a^2.
Площади прямоугольников со сторонами b и a-b равны b(a-b).
Площадь квадрата со стороной b равна b^2.
Тогда, определим площадь прямоугольника со сторонами a-b и a+b:
a^2-b(a-b)-b^2+b(a-b)=a^2-b^2
Получили равенство: (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Задание учебника 2019 года
Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
Пусть целое число равно n.
Тогда предыдущее число будет n-1, а последующее число равно n+1.
Произведение предыдущего и последующего чисел равно:
(n+1)(n-1)=n^2-1.
Таким образом, квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
Что и требовалось доказать.
