Упр.1375 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите кратность значений выраженийС пояснением
1) Вынесем 17 за скобки:
\(17^3 + 17^2 − 17 = 17(289 + 17 − 1) = 17 · 305 = 61 · 85\).
Значение кратно 61.2) Заметим, что \(125^2 = 25^3\). Тогда:
25⁴ − 125² = 25⁴ − 25³ = 25³(25 − 1) = 15 625 · 24 = 40 · 9375.
Значение кратно 40.3) Вынесем \(2^{960}\) за скобки:
\(5 · 2^{962} − 3 · 2^{961} + 2^{960} = 2^{960}(5 · 4 − 3 · 2 + 1) = 15 · 2^{960} = 60 · 2^{958}\).
Значение кратно 60.Ответ: кратность доказана во всех трёх случаях.
Кратко 1) \(17^3 + 17^2 − 17 = 17(289 + 17 − 1) = 61 · 85\).
2) \(25^4 − 125^2 = 25^3(25 − 1) = 40 · 9375\).
3) \(5 · 2^{962} − 3 · 2^{961} + 2^{960} = 2^{960}(20 − 6 + 1) = 60 · 2^{958}\).
Ответ: кратность доказана.
\(17^3 + 17^2 − 17 = 17(289 + 17 − 1) = 17 · 305 = 61 · 85\).
Значение кратно 61.2) Заметим, что \(125^2 = 25^3\). Тогда:
25⁴ − 125² = 25⁴ − 25³ = 25³(25 − 1) = 15 625 · 24 = 40 · 9375.
Значение кратно 40.3) Вынесем \(2^{960}\) за скобки:
\(5 · 2^{962} − 3 · 2^{961} + 2^{960} = 2^{960}(5 · 4 − 3 · 2 + 1) = 15 · 2^{960} = 60 · 2^{958}\).
Значение кратно 60.Ответ: кратность доказана во всех трёх случаях.
Кратко 1) \(17^3 + 17^2 − 17 = 17(289 + 17 − 1) = 61 · 85\).
2) \(25^4 − 125^2 = 25^3(25 − 1) = 40 · 9375\).
3) \(5 · 2^{962} − 3 · 2^{961} + 2^{960} = 2^{960}(20 − 6 + 1) = 60 · 2^{958}\).
Ответ: кратность доказана.
1) Найдём остатки степеней при делении на 61:
\(17^2 = 289 = 61 \cdot 4 + 45\),
\(17^3 = 4913 = 61 \cdot 80 + 33\).
Поэтому
\(17^3 + 17^2 - 17 = 61 \cdot 80 + 33 + 61 \cdot 4 + 45 - 17 = 61 \cdot 85\).
Следовательно, выражение кратно 61.2) Представим числа как сумму числа, кратного 40, и остатка:
\(25^4 = 390625 = 40 \cdot 9765 + 25\),
\(125^2 = 15625 = 40 \cdot 390 + 25\).
Тогда
\(25^4 - 125^2 = 40 \cdot 9765 + 25 - (40 \cdot 390 + 25) = 40 \cdot 9375\).
Следовательно, выражение кратно 40.3) Докажем делимость на 3, 4 и 5.Каждое слагаемое содержит степень двойки не ниже 2, поэтому всё выражение делится на 4.При делении на 3 степени двойки с чётными показателями дают остаток 1, а с нечётными — остаток 2. Поэтому остаток всего выражения равен остатку числа
\(5 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 1 = 0\).
Значит, выражение делится на 3.Остатки степеней двойки при делении на 5 повторяются через четыре показателя: 2, 4, 3, 1. Поскольку 960 делится на 4, числа \(2^{960}\), \(2^{961}\) и \(2^{962}\) дают остатки 1, 2 и 4 соответственно. Тогда
\(5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1 = 15\),
а 15 делится на 5. Значит, исходное выражение делится на 5.Числа 3, 4 и 5 попарно взаимно просты, поэтому выражение делится на \(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\).
\(17^2 = 289 = 61 \cdot 4 + 45\),
\(17^3 = 4913 = 61 \cdot 80 + 33\).
Поэтому
\(17^3 + 17^2 - 17 = 61 \cdot 80 + 33 + 61 \cdot 4 + 45 - 17 = 61 \cdot 85\).
Следовательно, выражение кратно 61.2) Представим числа как сумму числа, кратного 40, и остатка:
\(25^4 = 390625 = 40 \cdot 9765 + 25\),
\(125^2 = 15625 = 40 \cdot 390 + 25\).
Тогда
\(25^4 - 125^2 = 40 \cdot 9765 + 25 - (40 \cdot 390 + 25) = 40 \cdot 9375\).
Следовательно, выражение кратно 40.3) Докажем делимость на 3, 4 и 5.Каждое слагаемое содержит степень двойки не ниже 2, поэтому всё выражение делится на 4.При делении на 3 степени двойки с чётными показателями дают остаток 1, а с нечётными — остаток 2. Поэтому остаток всего выражения равен остатку числа
\(5 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 1 = 0\).
Значит, выражение делится на 3.Остатки степеней двойки при делении на 5 повторяются через четыре показателя: 2, 4, 3, 1. Поскольку 960 делится на 4, числа \(2^{960}\), \(2^{961}\) и \(2^{962}\) дают остатки 1, 2 и 4 соответственно. Тогда
\(5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1 = 15\),
а 15 делится на 5. Значит, исходное выражение делится на 5.Числа 3, 4 и 5 попарно взаимно просты, поэтому выражение делится на \(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что значение выражения:
1) 17^3 + 17^2 - 17 кратно 61;
2) 25^4 - 125^2 кратно 40;
3) 5 * 2^962 - 3 * 2^961 + 2^960 кратно 60.
