Упр.1350 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Докажите нечётность числа делителей квадратаС пояснением
Пусть дано число \(n^2\), где \(n\) — натуральное число. Каждому его делителю \(d\) соответствует делитель \(n^2/d\). Их произведение равно \(n^2\), поэтому все делители можно разбить на пары.
В паре оба делителя совпадают только тогда, когда \(d = n^2/d\), то есть \(d^2 = n^2\). Поскольку \(d\) и \(n\) натуральные, это возможно только при \(d = n\).
Значит, все делители, кроме n, разбиваются на пары, а делитель n остаётся без пары. Поэтому число делителей нечётно.
Ответ: число делителей \(n^2\) нечётно.
Кратко Делители числа \(n^2\) объединяются в пары \(d\) и \(n^2/d\). Делители в паре совпадают только при \(d = n\). Значит, кроме делителя \(n\), все делители образуют пары.
Ответ: число делителей \(n^2\) нечётно.
В паре оба делителя совпадают только тогда, когда \(d = n^2/d\), то есть \(d^2 = n^2\). Поскольку \(d\) и \(n\) натуральные, это возможно только при \(d = n\).
Значит, все делители, кроме n, разбиваются на пары, а делитель n остаётся без пары. Поэтому число делителей нечётно.
Ответ: число делителей \(n^2\) нечётно.
Кратко Делители числа \(n^2\) объединяются в пары \(d\) и \(n^2/d\). Делители в паре совпадают только при \(d = n\). Значит, кроме делителя \(n\), все делители образуют пары.
Ответ: число делителей \(n^2\) нечётно.
Если \(n = 1\), то \(n^2 = 1\) имеет один делитель, то есть нечётное число делителей.Пусть n > 1. Разложим n на простые множители:
n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ.Тогда
n² = p₁^(2a₁) · p₂^(2a₂) · … · pₖ^(2aₖ).Каждый делитель числа \(n^2\) имеет вид
p₁^b₁ · p₂^b₂ · … · pₖ^bₖ,
где для каждого показателя можно выбрать значение от 0 до 2aᵢ. Поэтому число делителей равно
(2a₁ + 1)(2a₂ + 1) · … · (2aₖ + 1).Каждый множитель этого произведения нечётный, следовательно, и всё произведение нечётно. Значит, квадрат любого натурального числа имеет нечётное количество делителей.
n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ.Тогда
n² = p₁^(2a₁) · p₂^(2a₂) · … · pₖ^(2aₖ).Каждый делитель числа \(n^2\) имеет вид
p₁^b₁ · p₂^b₂ · … · pₖ^bₖ,
где для каждого показателя можно выбрать значение от 0 до 2aᵢ. Поэтому число делителей равно
(2a₁ + 1)(2a₂ + 1) · … · (2aₖ + 1).Каждый множитель этого произведения нечётный, следовательно, и всё произведение нечётно. Значит, квадрат любого натурального числа имеет нечётное количество делителей.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.
