Упр.1024 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2026)
Решение #2(Учебник 2019)
Решение #3(Учебник 2019)
Решение #4 (Учебник 2019)ИИ
Варианты решения:
Докажите тождество и найдите квадраты чиселС пояснением
1) По формуле квадрата суммы:
\((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\). Тождество доказано.2) Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается как 10n + 5. По доказанному тождеству для возведения его в квадрат нужно число, стоящее перед цифрой 5, умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.3) Применим правило:
\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: \(25^2 = 625\); \(45^2 = 2025\); \(75^2 = 5625\); \(115^2 = 13225\).
Кратко \((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\).Правило: число перед цифрой 5 умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
\((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\). Тождество доказано.2) Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается как 10n + 5. По доказанному тождеству для возведения его в квадрат нужно число, стоящее перед цифрой 5, умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.3) Применим правило:
\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: \(25^2 = 625\); \(45^2 = 2025\); \(75^2 = 5625\); \(115^2 = 13225\).
Кратко \((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25\).Правило: число перед цифрой 5 умножить на следующее натуральное число и справа приписать 25.\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), получаем 625;
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), получаем 2025;
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), получаем 5625;
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), получаем 13225.Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
Рассмотрим квадрат со стороной 10n + 5. Разобьём его на квадрат со стороной 10n, две полосы размерами 10n × 5 и квадрат 5 × 5.Две полосы 10n × 5 можно объединить в одну полосу 10n × 10. Вместе с квадратом 10n × 10n она образует прямоугольник со сторонами 10n и 10n + 10. Поэтому площадь исходного квадрата равна
\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), значит \(45^2 = 2025\);
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), значит \(75^2 = 5625\);
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), значит \(115^2 = 13225\).Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
\[10n(10n + 10) + 5^2 = 100n(n + 1) + 25.\]
Следовательно,\[(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25.\]
Правило: чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно число перед последней цифрой 5 умножить на следующее за ним натуральное число и справа приписать 25.\(25^2\): \(2 \cdot 3 = 6\), значит \(25^2 = 625\);\(45^2\): \(4 \cdot 5 = 20\), значит \(45^2 = 2025\);
\(75^2\): \(7 \cdot 8 = 56\), значит \(75^2 = 5625\);
\(115^2\): \(11 \cdot 12 = 132\), значит \(115^2 = 13225\).Ответ: 625; 2025; 5625; 13225.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:
Задание учебника 2026 года
Докажите, что число, равное разности 111 111 - 222, является квадратом натурального числа.
Задание учебника 2019 года
Докажите тождество (10n + 5)2 = 100n (n + 1) + 25.
Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу 25^2, 45^2, 75^2, 115^2.
