Упр.47.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Исследовать функцию на интервале в зависимости от параметраС пояснением
Найдём производную:
\(y′ = e^{−x}x^5(6 − x)\).
Так как \(e^{-x} > 0\), знак производной определяется множителями \(x^5\) и \(6 − x\). Функция убывает на \((−\infty; 0)\), возрастает на \((0; 6)\) и убывает на \((6; +\infty)\). Точки экстремума: \(x = 0\) и \(x = 6\).а) Только точка 0 принадлежит интервалу (a; a + 7) при \(-7 < a \leq -1\), а только точка 6 — при \(0 \leq a < 6\).
б) Обе точки принадлежат интервалу, если a < 0 и \(a + 7 > 6\), то есть \(-1 < a < 0\).
в) Интервал целиком лежит в промежутке убывания, если \(a + 7 \leq 0\) или \(a \geq 6\).
г) Интервал длины 7 не может целиком лежать в промежутке возрастания (0; 6), длина которого равна 6.Ответ: а) a ∈ (−7; −1] ∪ [0; 6); б) a ∈ (−1; 0); в) a ≤ −7 или \(a ≥ 6\); г) таких значений нет.
Кратко \(y' = e^{-x}x^5(6 - x)\). Функция убывает на \((-\infty; 0)\) и \((6; +\infty)\), возрастает на \((0; 6)\). Точки экстремума: \(0\) и \(6\).Ответ: а) a ∈ (−7; −1] ∪ [0; 6); б) a ∈ (−1; 0); в) a ≤ −7 или \(a ≥ 6\); г) таких значений нет.
\(y′ = e^{−x}x^5(6 − x)\).
Так как \(e^{-x} > 0\), знак производной определяется множителями \(x^5\) и \(6 − x\). Функция убывает на \((−\infty; 0)\), возрастает на \((0; 6)\) и убывает на \((6; +\infty)\). Точки экстремума: \(x = 0\) и \(x = 6\).а) Только точка 0 принадлежит интервалу (a; a + 7) при \(-7 < a \leq -1\), а только точка 6 — при \(0 \leq a < 6\).
б) Обе точки принадлежат интервалу, если a < 0 и \(a + 7 > 6\), то есть \(-1 < a < 0\).
в) Интервал целиком лежит в промежутке убывания, если \(a + 7 \leq 0\) или \(a \geq 6\).
г) Интервал длины 7 не может целиком лежать в промежутке возрастания (0; 6), длина которого равна 6.Ответ: а) a ∈ (−7; −1] ∪ [0; 6); б) a ∈ (−1; 0); в) a ≤ −7 или \(a ≥ 6\); г) таких значений нет.
Кратко \(y' = e^{-x}x^5(6 - x)\). Функция убывает на \((-\infty; 0)\) и \((6; +\infty)\), возрастает на \((0; 6)\). Точки экстремума: \(0\) и \(6\).Ответ: а) a ∈ (−7; −1] ∪ [0; 6); б) a ∈ (−1; 0); в) a ≤ −7 или \(a ≥ 6\); г) таких значений нет.
Используем неравенство \(e^t>1+t\) при \(t\ne 0\).При x<0 положим \(s=-x\). Тогда \(y=s^6e^s\). Оба положительных множителя возрастают с ростом s, поэтому при возрастании x величина s уменьшается, а функция y убывает на (−∞;0).При x>0 представим функцию в виде
\(e^{d/v}<1/(1-d/v)=v/u\).
Кроме того, v≤6, поэтому \(d/6\le d/v\). Следовательно,
\(e^{d/6}<v/u\),
то есть \(ve^{-v/6}>ue^{-u/6}\). Значит, h, а вместе с ней и y, возрастает на (0;6).Пусть 6≤u<v и d=v−u. Тогда
\(e^{d/6}>1+d/6\geq 1+d/u=v/u\).
Поэтому \(ve^{-v/6}<ue^{-u/6}\), то есть y убывает на (6;+∞).Таким образом, функция убывает на (−∞;0), возрастает на (0;6) и убывает на (6;+∞). В точке 0 находится минимум, в точке 6 — максимум.Точка 0 принадлежит интервалу (a;a+7), если −7<a<0. Точка 6 принадлежит этому интервалу, если −1<a<6.а) Ровно одна точка экстремума находится в интервале при
\(a+7\le 0\) или \(a\ge 6\),
то есть \(a\le -7\) или \(a\ge 6\).г) Для возрастания интервал должен помещаться в (0;6), но его длина равна 7, а длина этого промежутка равна 6. Таких значений a нет.
\[y=(xe^{-x/6})^6.\]
Рассмотрим \(h(x)=xe^{-x/6}\).Пусть 0<u<v≤6 и d=v−u. Так как \(d/v\in(0;1)\), из \(e^{-d/v}>1-d/v\) получаем\(e^{d/v}<1/(1-d/v)=v/u\).
Кроме того, v≤6, поэтому \(d/6\le d/v\). Следовательно,
\(e^{d/6}<v/u\),
то есть \(ve^{-v/6}>ue^{-u/6}\). Значит, h, а вместе с ней и y, возрастает на (0;6).Пусть 6≤u<v и d=v−u. Тогда
\(e^{d/6}>1+d/6\geq 1+d/u=v/u\).
Поэтому \(ve^{-v/6}<ue^{-u/6}\), то есть y убывает на (6;+∞).Таким образом, функция убывает на (−∞;0), возрастает на (0;6) и убывает на (6;+∞). В точке 0 находится минимум, в точке 6 — максимум.Точка 0 принадлежит интервалу (a;a+7), если −7<a<0. Точка 6 принадлежит этому интервалу, если −1<a<6.а) Ровно одна точка экстремума находится в интервале при
\[a\in(-7;-1]\cup[0;6).\]
б) Обе точки экстремума находятся в интервале при\[a\in(-1;0).\]
в) Весь интервал расположен в одном из промежутков убывания при\(a+7\le 0\) или \(a\ge 6\),
то есть \(a\le -7\) или \(a\ge 6\).г) Для возрастания интервал должен помещаться в (0;6), но его длина равна 7, а длина этого промежутка равна 6. Таких значений a нет.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
При каких значениях параметра а функция у = х^6 е^-х на интервале (а; а + 7):
а) имеет одну точку экстремума;
б) имеет две точки экстремума;
в) убывает;
г) возрастает?
