Упр.30.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2ИИ
Варианты решения:
Докажите убывание функций на указанных промежуткахС пояснением
Пусть \(x_1 < x_2\). Сравним значения функции в этих точках.а) Для x₁, x₂ ∈ (−2; +∞):
\((x_1 + 2)(x_2 + 2) > 0\),
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} > 0\).
Значит, \(f(x_1) > f(x_2)\), поэтому функция убывает на (−2; +∞).б) Для x₁, x₂ ∈ \((-\infty; -1/2)\) оба множителя \(2x_1 + 1\) и \(2x_2 + 1\) отрицательны, поэтому их произведение положительно:
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{6(x_2 - x_1)}{(2x_1 + 1)(2x_2 + 1)} > 0\).
Значит, \(f(x_1) > f(x_2)\), поэтому функция убывает на \((-\infty; -1/2)\).Ответ: убывание на указанных промежутках доказано.
Кратко Пусть \(x_1 < x_2\).
а) При \(x_1, x_2 \in (-2; +\infty)\):
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} > 0\).
б) При \(x_1, x_2 \in (-\infty; -1/2)\):
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{6(x_2 - x_1)}{(2x_1 + 1)(2x_2 + 1)} > 0\).
В обоих случаях \(f(x_1) > f(x_2)\).
Ответ: функции убывают на указанных промежутках.
\((x_1 + 2)(x_2 + 2) > 0\),
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} > 0\).
Значит, \(f(x_1) > f(x_2)\), поэтому функция убывает на (−2; +∞).б) Для x₁, x₂ ∈ \((-\infty; -1/2)\) оба множителя \(2x_1 + 1\) и \(2x_2 + 1\) отрицательны, поэтому их произведение положительно:
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{6(x_2 - x_1)}{(2x_1 + 1)(2x_2 + 1)} > 0\).
Значит, \(f(x_1) > f(x_2)\), поэтому функция убывает на \((-\infty; -1/2)\).Ответ: убывание на указанных промежутках доказано.
Кратко Пусть \(x_1 < x_2\).
а) При \(x_1, x_2 \in (-2; +\infty)\):
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} > 0\).
б) При \(x_1, x_2 \in (-\infty; -1/2)\):
\(\displaystyle f(x_1) - f(x_2) = \frac{6(x_2 - x_1)}{(2x_1 + 1)(2x_2 + 1)} > 0\).
В обоих случаях \(f(x_1) > f(x_2)\).
Ответ: функции убывают на указанных промежутках.
а) Представим функцию в виде
\[\text{у}=\frac{3x+7}{x+2}=3+\frac{1}{x+2}.\]
При \(x\in(-2;+\infty)\) выражение x + 2 принимает положительные значения и возрастает. Функция \(1/t\) убывает при t > 0, поэтому \(\frac{1}{x + 2}\) убывает. Прибавление постоянного числа 3 не меняет монотонности. Следовательно, функция убывает на (−2; +∞).б) Представим функцию в виде\[\text{у}=\frac{-4x+1}{2x+1}=-2+\frac{3}{2x+1}.\]
При \(x\in(-\infty;-1/2)\) выражение 2x + 1 принимает отрицательные значения и возрастает. Функция \(1/t\) убывает при t < 0, поэтому \(\frac{1}{2x + 1}\) убывает. Умножение на положительное число 3 и прибавление числа −2 не меняют монотонности. Следовательно, функция убывает на (−∞; −1/2).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
а) у = (3x + 7) / (х + 2) убывает на (-2; +бесконечность);
б) У = (-4x + 1) / (2x + 1) убывает на (-бесконечность; -1/2).
