Упр.22.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
а) Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
sin 2a + sin 6a = 2 sin 4a cos 2a;
cos 2a + cos 6a = 2 cos 4a cos 2a.
Поэтому на области определения левой части
(sin 2a + sin 6a)/(cos 2a + cos 6a) = (2 sin 4a cos 2a)/(2 cos 4a cos 2a) = tg 4a.б) Применим формулы разности и суммы косинусов:
cos 2a − cos 4a = 2 sin 3a sin a;
cos 2a + cos 4a = 2 cos 3a cos a.
Следовательно, на области определения левой части
(cos 2a − cos 4a)/(cos 2a + cos 4a) = (2 sin 3a sin a)/(2 cos 3a cos a) = tg 3a · tg a.Ответ: тождества доказаны.
Кратко а) (sin 2a + sin 6a)/(cos 2a + cos 6a) = (2 sin 4a cos 2a)/(2 cos 4a cos 2a) = tg 4a.б) (cos 2a − cos 4a)/(cos 2a + cos 4a) = (2 sin 3a sin a)/(2 cos 3a cos a) = tg 3a · tg a.Равенства верны при ненулевых знаменателях левых частей.
Ответ: тождества доказаны.
sin 2a + sin 6a = 2 sin 4a cos 2a;
cos 2a + cos 6a = 2 cos 4a cos 2a.
Поэтому на области определения левой части
(sin 2a + sin 6a)/(cos 2a + cos 6a) = (2 sin 4a cos 2a)/(2 cos 4a cos 2a) = tg 4a.б) Применим формулы разности и суммы косинусов:
cos 2a − cos 4a = 2 sin 3a sin a;
cos 2a + cos 4a = 2 cos 3a cos a.
Следовательно, на области определения левой части
(cos 2a − cos 4a)/(cos 2a + cos 4a) = (2 sin 3a sin a)/(2 cos 3a cos a) = tg 3a · tg a.Ответ: тождества доказаны.
Кратко а) (sin 2a + sin 6a)/(cos 2a + cos 6a) = (2 sin 4a cos 2a)/(2 cos 4a cos 2a) = tg 4a.б) (cos 2a − cos 4a)/(cos 2a + cos 4a) = (2 sin 3a sin a)/(2 cos 3a cos a) = tg 3a · tg a.Равенства верны при ненулевых знаменателях левых частей.
Ответ: тождества доказаны.
Рассмотрим значения a, при которых все выражения определены.а) После умножения обеих частей на ненулевые знаменатели достаточно доказать:
\[(\sin 2a+\sin 6a)\cos 4a=(\cos 2a+\cos 6a)\sin 4a.\]
Перенесём правую часть влево и сгруппируем слагаемые:\[\sin 2a\cos 4a-\cos 2a\sin 4a+\sin 6a\cos 4a-\cos 6a\sin 4a\]
\[=\sin(2a-4a)+\sin(6a-4a)\]
\[=\sin(-2a)+\sin 2a=0.\]
Следовательно,\[\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\operatorname{tg} 4a.\]
б) Представим произведение тангенсов в виде\[\operatorname{tg} 3a\cdot\operatorname{tg} a=\frac{\sin 3a\sin a}{\cos 3a\cos a}.\]
После перекрёстного умножения требуется доказать:\[(\cos 2a-\cos 4a)\cos 3a\cos a=(\cos 2a+\cos 4a)\sin 3a\sin a.\]
Раскроем скобки и перегруппируем:\[\cos 2a(\cos 3a\cos a-\sin 3a\sin a)=\cos 4a(\cos 3a\cos a+\sin 3a\sin a).\]
По формулам косинуса суммы и разности:\[\cos 3a\cos a-\sin 3a\sin a=\cos 4a,\]
\[\cos 3a\cos a+\sin 3a\sin a=\cos 2a.\]
Поэтому получаем верное равенство\[\cos 2a\cos 4a=\cos 4a\cos 2a.\]
Оба тождества доказаны на их области допустимых значений.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
a) (sin 2а + sin 6а) / (cos 2а + cos 6а) = tg 4a;
6) (cos 2a - cos 4a) / (cos 2a + cos 4a) = tg 3a * tg a.
