Упр.22.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
а) Записанное равенство не является тождеством. При x = \(\frac{\pi}{2}\), y = 0 левая часть равна 1 + 0 + 1 = 2, а правая — \(4 \cdot (\sqrt{2}/2) \cdot (\sqrt{2}/2) \cdot (\sqrt{2}/2) = \sqrt{2}\). Поскольку \(2 \ne \sqrt{2}\), равенство неверно.б) Применим формулы суммы синусов и косинусов:
\((\sin x + \sin 2x + \sin 3x)/(\cos x + \cos 2x + \cos 3x) = \sin 2x(2\cos x + 1)/(\cos 2x(2\cos x + 1)) = \operatorname{tg} 2x\).
Сокращение допустимо, поскольку знаменатель исходной дроби не равен нулю.Ответ: а) равенство неверно; б) тождество доказано на области определения исходной дроби.
Кратко а) При x = \(\frac{\pi}{2}\), \(y = 0\) левая часть равна 2, правая — \(\sqrt{2}\). Следовательно, равенство неверно.б) \(\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x\); \(\cos x + \cos 3x = 2\cos 2x \cos x\). Поэтому
\(\displaystyle \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \frac{\sin 2x(2\cos x + 1)}{\cos 2x(2\cos x + 1)} = \operatorname{tg} 2x\).Ответ: а) равенство неверно; б) тождество доказано на области определения исходной дроби.
\[\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x,\]
\[\cos x + \cos 3x = 2\cos 2x \cos x.\]
Тогда\((\sin x + \sin 2x + \sin 3x)/(\cos x + \cos 2x + \cos 3x) = \sin 2x(2\cos x + 1)/(\cos 2x(2\cos x + 1)) = \operatorname{tg} 2x\).
Сокращение допустимо, поскольку знаменатель исходной дроби не равен нулю.Ответ: а) равенство неверно; б) тождество доказано на области определения исходной дроби.
Кратко а) При x = \(\frac{\pi}{2}\), \(y = 0\) левая часть равна 2, правая — \(\sqrt{2}\). Следовательно, равенство неверно.б) \(\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x\); \(\cos x + \cos 3x = 2\cos 2x \cos x\). Поэтому
\(\displaystyle \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \frac{\sin 2x(2\cos x + 1)}{\cos 2x(2\cos x + 1)} = \operatorname{tg} 2x\).Ответ: а) равенство неверно; б) тождество доказано на области определения исходной дроби.
а) Преобразуем левую часть:
\[\sin x + \sin y + \sin(x-y) =\]
\[= 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} + 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x-y}{2} =\]
\[= 2\cos\frac{x-y}{2}\cdot\left(\sin\frac{x+y}{2} + \sin\frac{x-y}{2}\right) =\]
\[= 4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.\]
Полученное выражение в общем случае не равно \(4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x-y}{2}\). Следовательно, записанное равенство не является тождеством: в правой части вместо \(\cos\frac{x}{2}\) должно быть \(\cos\frac{y}{2}\).б) Обозначим числитель через N, а знаменатель через D. Докажем, что Ncos 2x = Dsin 2x:\[N\cos 2x - D\sin 2x =\]
\[= (\sin x\cos 2x - \cos x\sin 2x) +\]
\[+ (\sin 2x\cos 2x - \cos 2x\sin 2x) +\]
\[+ (\sin 3x\cos 2x - \cos 3x\sin 2x) =\]
\[= \sin(x-2x) + \sin(2x-2x) + \sin(3x-2x) =\]
\[= -\sin x + 0 + \sin x = 0.\]
Значит, Ncos 2x = Dsin 2x. На области определения исходной дроби D ≠ 0. Кроме того,\[D = \cos x + \cos 2x + \cos 3x = \cos 2x(2\cos x + 1),\]
поэтому \(D \ne 0\) влечёт \(\cos 2x \ne 0\). Следовательно,\[\frac{N}{D} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x.\]
Ответ: а) равенство неверно; б) тождество доказано на области определения исходной дроби.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
a) sin x + sin у + sin (x - y) = 4sin x/2 * cos x/2 * cos (x - y)/2;
б) (sin x + sin 2x + sin Зx) / (cos x + cos 2x + cos Зx) = tg 2x.
