Упр.12.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите тригонометрические тождестваС пояснением
Используем периодичность синуса и косинуса, чётность косинуса и нечётность синуса.а) \(\sin^2(x-8\pi)=\sin^2x\), так как \(8\pi\) — целое число периодов синуса. Также \(\cos^2(16\pi-x)=\cos^2(-x)=\cos^2x\).
Следовательно, \(1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2x=\sin^2x\). Обе части тождества равны.б) \(\cos^2(4\pi+x)=\cos^2x\), а \(\sin^2(22\pi-x)=\sin^2(-x)=\sin^2x\).
Следовательно, \(1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2x=\cos^2x\). Обе части тождества равны.Ответ: оба тождества доказаны.
Кратко а) \(\sin^2(x-8\pi)=\sin^2x=1-\cos^2x=1-\cos^2(16\pi-x)\).
б) \(\cos^2(4\pi+x)=\cos^2x=1-\sin^2x=1-\sin^2(22\pi-x)\).Ответ: тождества доказаны.
Следовательно, \(1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2x=\sin^2x\). Обе части тождества равны.б) \(\cos^2(4\pi+x)=\cos^2x\), а \(\sin^2(22\pi-x)=\sin^2(-x)=\sin^2x\).
Следовательно, \(1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2x=\cos^2x\). Обе части тождества равны.Ответ: оба тождества доказаны.
Кратко а) \(\sin^2(x-8\pi)=\sin^2x=1-\cos^2x=1-\cos^2(16\pi-x)\).
б) \(\cos^2(4\pi+x)=\cos^2x=1-\sin^2x=1-\sin^2(22\pi-x)\).Ответ: тождества доказаны.
а) По формуле понижения степени
\[\sin^2(x-8\pi)=\frac{1-\cos(2x-16\pi)}{2}=\frac{1-\cos 2x}{2}.\]
С другой стороны,\[1-\cos^2(16\pi-x)=1-\frac{1+\cos(32\pi-2x)}{2}=\frac{1-\cos(32\pi-2x)}{2}=\frac{1-\cos 2x}{2}.\]
Следовательно, равенство верно.б) По формуле понижения степени\[\cos^2(4\pi+x)=\frac{1+\cos(8\pi+2x)}{2}=\frac{1+\cos 2x}{2}.\]
С другой стороны,\[1-\sin^2(22\pi-x)=1-\frac{1-\cos(44\pi-2x)}{2}=\frac{1+\cos(44\pi-2x)}{2}=\frac{1+\cos 2x}{2}.\]
Следовательно, равенство верно. Оба тождества доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите тождество:
а) sin^2(x - 8пи) = 1 - cos^2(16пи - x);
б) cos^2(4пи + x) = 1 - sin^2(22пи - x).
