Упр.757 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите симметрию графика арккосинусаС пояснением
Область определения функции — отрезок [−1; 1], симметричный относительно нуля. Для любого x из этого отрезка справедливо:
\(\arccos(-x) = \pi - \arccos x\).
Поэтому если точка \((x; \arccos x)\) принадлежит графику, то ему принадлежит и симметричная ей относительно точки \((0; \pi/2)\) точка \((−x; \pi − \arccos x)\).
Ответ: график симметричен относительно точки \((0; \pi/2)\).
Кратко Для любого \(x\in[-1; 1]\) имеем \(\arccos(-x) = \pi - \arccos x\). Значит, вместе с точкой (x; arccos x) графику принадлежит точка (−x; π − arccos x), симметричная ей относительно \((0; \pi/2)\).
Ответ: график симметричен относительно точки \((0; \pi/2)\).
\(\arccos(-x) = \pi - \arccos x\).
Поэтому если точка \((x; \arccos x)\) принадлежит графику, то ему принадлежит и симметричная ей относительно точки \((0; \pi/2)\) точка \((−x; \pi − \arccos x)\).
Ответ: график симметричен относительно точки \((0; \pi/2)\).
Кратко Для любого \(x\in[-1; 1]\) имеем \(\arccos(-x) = \pi - \arccos x\). Значит, вместе с точкой (x; arccos x) графику принадлежит точка (−x; π − arccos x), симметричная ей относительно \((0; \pi/2)\).
Ответ: график симметричен относительно точки \((0; \pi/2)\).
Рассмотрим функцию \(y=\cos x\) на отрезке \([0;\pi]\). Для любого \(x\in[0;\pi]\) точка \((x; \cos x)\) переходит при центральной симметрии относительно точки \((\pi/2; 0)\) в точку \((\pi - x; -\cos x)\). Она также принадлежит графику, поскольку \(\cos(\pi - x) = -\cos x\). Значит, график \(y = \cos x\) на \([0; \pi]\) симметричен относительно точки \((\pi/2; 0)\).Функция \(y = \arccos x\) обратна функции \(y = \cos x\) на \([0; \pi]\), поэтому её график получается отражением графика косинуса относительно прямой \(y = x\). При таком отражении центр симметрии \((\pi/2; 0)\) переходит в точку \((0; \pi/2)\), а центральная симметрия сохраняется.Следовательно, график функции \(y = \arccos x\) симметричен относительно точки \((0; \pi/2)\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Доказать, что график функции у = arccos х симметричен относительно точки (0;пи/2).
