Упр.1538 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти площади фигур, ограниченных графикамиС пояснением
1) Графики \(y = \sqrt{x - 1}\) и \(y = 3 - x\) пересекаются в точке (2; 1). С осью Ox они пересекаются при \(x = 1\) и \(x = 3\) соответственно. Поэтому
Кратко 1) Точки пересечения имеют абсциссы 1, 2 и 3.
\[S_1=\int_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx+\int_{2}^{3}(3-x)\,dx=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}.\]
2) График \(y = -\dfrac{1}{x}\) пересекает параболы \(y = \dfrac{x^2}{8}\) и \(y = x^2\) при \(x = -2\) и \(x = -1\) соответственно. Параболы пересекаются в начале координат. Разбиваем площадь на две части:\[S_2=\int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)\,dx+\int_{-1}^{0}\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)\,dx=\ln 2-\frac{7}{24}+\frac{7}{24}=\ln 2.\]
Ответ: 1) \(7/6\); 2) \(\ln 2\).Кратко 1) Точки пересечения имеют абсциссы 1, 2 и 3.
\[S_1=\int_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx+\int_{2}^{3}(3-x)\,dx=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}.\]
2) Точки пересечения имеют абсциссы −2, −1 и 0.\[S_2=\int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)\,dx+\int_{-1}^{0}\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)\,dx=\ln 2.\]
Ответ: 1) \(7/6\); 2) \(\ln 2\).1) Выразим x через y:
\(x=y^{2}+1\), \(x=3-y\).
Фигура расположена при \(0\le y\le 1\), поэтому
\(\displaystyle x=-\sqrt{y}\), \(x=-\sqrt{8y}\),
а для гиперболы \(x=-\dfrac{1}{y}\).
Точки смены левой границы соответствуют \(y=\dfrac{1}{2}\) и \(y=1\). Поэтому
\(\displaystyle \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\),
второй —
\(\displaystyle \ln 2-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\).
Следовательно,
\(S_{2}=\ln 2\).Ответ: 1) 7/6; 2) ln2.
\(x=y^{2}+1\), \(x=3-y\).
Фигура расположена при \(0\le y\le 1\), поэтому
\[S_{1}=\int_{0}^{1}[(3-y)-(y^{2}+1)]\,dy=\int_{0}^{1}(2-y-y^{2})\,dy\]
\[=\left[2y-\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}.\]
2) На левых ветвях парабол:\(\displaystyle x=-\sqrt{y}\), \(x=-\sqrt{8y}\),
а для гиперболы \(x=-\dfrac{1}{y}\).
Точки смены левой границы соответствуют \(y=\dfrac{1}{2}\) и \(y=1\). Поэтому
\[S_{2}=\int_{0}^{1/2}[-\sqrt{y}-(-\sqrt{8y})]\,dy+\int_{1/2}^{1}\left[-\sqrt{y}-\left(-\frac{1}{y}\right)\right]dy\]
\[=\int_{0}^{1/2}(\sqrt{8y}-\sqrt{y})\,dy+\int_{1/2}^{1}\left(\frac{1}{y}-\sqrt{y}\right)dy.\]
Первый интеграл равен\(\displaystyle \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\),
второй —
\(\displaystyle \ln 2-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\).
Следовательно,
\(S_{2}=\ln 2\).Ответ: 1) 7/6; 2) ln2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1538—1542).
1538 1) у = корень (х-1), у = 3 - х, у = 0;
2) у =-1/x, у = х2, у=x2/8.
