Упр.1208 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2025)
Решение #3(Учебник 2021)
Решение #4(Учебник 2021)
Решение #5 (Учебник 2021)ИИ
Варианты решения:
Докажите кратность \(n^7-n\) числу 42С пояснением
1) Разложим выражение на множители:
\(n^7-n=n(n^2-1)(n^4+n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^4+n^2+1)\).
Среди трёх последовательных чисел n − 1, n, n + 1 одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому выражение делится на 6.2) Докажем делимость на 7. Любое целое число \(n\) можно представить в виде \(7k+r\), где \(r\) равно 0, 1, −1, 2, −2, 3 или −3. Разность \(n^7-r^7\) делится на \(n-r\), то есть на 7. Разность \(n-r\) тоже делится на 7, значит, достаточно проверить \(r^7-r\).
При r = 0, ±1 получаем 0; при r = ±2 получаем ±126; при r = ±3 получаем ±2184. Все эти числа делятся на 7.Таким образом, \(n^7-n\) делится и на 6, и на 7, а значит, делится на 42.
Ответ: \(n^7-n\) кратно 42 при любом натуральном \(n\).
Кратко \(n^7-n=(n-1)n(n+1)(n^4+n^2+1)\). Среди трёх последовательных чисел \(n-1\), \(n\), \(n+1\) есть кратное 3 и есть чётное, поэтому выражение делится на 6.Представим \(n=7k+r\), где \(r=0\), \(\pm1\), \(\pm2\) или \(\pm3\). Разности \(n^7-r^7\) и \(n-r\) делятся на 7. При этом \(r^7-r\) равно 0, ±126 или ±2184 и тоже делится на 7. Значит, \(n^7-n\) делится на 7.Выражение делится на 6 и на 7, следовательно, оно делится на 42.
Ответ: \(n^7-n\) кратно 42.
\(n^7-n=n(n^2-1)(n^4+n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^4+n^2+1)\).
Среди трёх последовательных чисел n − 1, n, n + 1 одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому выражение делится на 6.2) Докажем делимость на 7. Любое целое число \(n\) можно представить в виде \(7k+r\), где \(r\) равно 0, 1, −1, 2, −2, 3 или −3. Разность \(n^7-r^7\) делится на \(n-r\), то есть на 7. Разность \(n-r\) тоже делится на 7, значит, достаточно проверить \(r^7-r\).
При r = 0, ±1 получаем 0; при r = ±2 получаем ±126; при r = ±3 получаем ±2184. Все эти числа делятся на 7.Таким образом, \(n^7-n\) делится и на 6, и на 7, а значит, делится на 42.
Ответ: \(n^7-n\) кратно 42 при любом натуральном \(n\).
Кратко \(n^7-n=(n-1)n(n+1)(n^4+n^2+1)\). Среди трёх последовательных чисел \(n-1\), \(n\), \(n+1\) есть кратное 3 и есть чётное, поэтому выражение делится на 6.Представим \(n=7k+r\), где \(r=0\), \(\pm1\), \(\pm2\) или \(\pm3\). Разности \(n^7-r^7\) и \(n-r\) делятся на 7. При этом \(r^7-r\) равно 0, ±126 или ±2184 и тоже делится на 7. Значит, \(n^7-n\) делится на 7.Выражение делится на 6 и на 7, следовательно, оно делится на 42.
Ответ: \(n^7-n\) кратно 42.
Используем тождество:\(n^7 - n = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 7n(n^2 - 1)(2n^2 - 5)\).Проверим его. Правая часть равна
\(n(n^2 - 1)[(n^2 - 4)(n^2 - 9) + 7(2n^2 - 5)] =\)
\(n(n^2 - 1)(n^4 + n^2 + 1) = n(n^6 - 1) = n^7 - n\).Первое слагаемое является произведением семи последовательных целых чисел. Среди них есть число, кратное 7, число, кратное 3, и чётное число. Поэтому это произведение кратно \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\).Во втором слагаемом произведение\(n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)\)
состоит из трёх последовательных целых чисел, поэтому оно кратно 6. Следовательно, выражение \(7n(n^2 - 1)(2n^2 - 5)\) кратно \(7 \cdot 6 = 42\).Оба слагаемых кратны 42, значит, их сумма \(n^7 - n\) также кратна 42 при любом натуральном \(n\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф:
Задание учебника 2025 года
Решите уравнение:
1) (x - 8)2 -(х - 4)(x + 4) = 0;
2) (4х - 5)(4x + 5) - (4x -1)2 = 9 - 2x.
Задание учебника 2021 года
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n7 -n кратно 42.
