Упр.556 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Решение #1

Изображение 556 Основанием конуса с вершиной P является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость а перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса...
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 11 класс, Просвещение:
556 Основанием конуса с вершиной P является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость а перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса гг, где O1 — точка пересечения плоскости а с осью PO, PO

a T1 =^^-г (см- Рис- 152).

Решение

Докажем сначала, что любая точка M1, лежащая в плоскости а на окружности радиуса T1 с центром O1, лежит на некоторой образующей конуса, т. e. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой M точку пересечения луча PM1 с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников PO1M1 и POM (они подобны, так как имеют общий острый угол P)

находим: OM = ^- • О, M1 = —~ r, - r, т.е. точка M лежит на

PO1 1 1 PO1 1

окружности основания конуса. Следовательно, отрезок PM, на котором лежит точка M1, является образующей конуса.

Докажем теперь, что любая точка M1, лежащая как в плоскости а, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса T1 с центром O1. Действительно, из подобия треугольников PO1M1 и POM (PM — образующая, проходящая через точку M1) PO PO

имеем O1M1 = ^^-'ОМ-^^-г = г1. Таким образом, окружность радиуса T1 с центром O1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью а, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью а.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.