Упр.30.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите возрастание функцийС пояснением
Найдём производные функций и покажем, что они положительны при всех \(x \in \mathbb{R}\).а) \(y' = 2 - \sin x \ge 1 > 0\), так как sin x ≤ 1.б) \(y' = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0\), так как \(x^4 \ge 0\) и \(x^2 \ge 0\).в) \(y' = \cos x + 3x^2 + 1\). Поскольку \(1 + \cos x \ge 0\), при x ≠ 0 имеем y′ > 0. При x = 0 получаем \(y' = 2 > 0\).г) \(y' = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0\), так как \(x^4 \ge 0\) и \(x^2 \ge 0\).Ответ: все четыре функции возрастают на ℝ.
Кратко а) \(y' = 2 - \sin x \ge 1 > 0\).
б) \(y' = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0\).
в) y′ = \(1 + \cos x + 3x^2 > 0\): при x ≠ 0 положительно слагаемое 3x², а при x = 0 производная равна 2.
г) \(y' = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0\).Ответ: все функции возрастают на ℝ.
Кратко а) \(y' = 2 - \sin x \ge 1 > 0\).
б) \(y' = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0\).
в) y′ = \(1 + \cos x + 3x^2 > 0\): при x ≠ 0 положительно слагаемое 3x², а при x = 0 производная равна 2.
г) \(y' = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0\).Ответ: все функции возрастают на ℝ.
Пусть \(x_2 > x_1\) и \(h = x_2 - x_1 > 0\). Из формул разности и неравенства \(|\sin t| \le |t|\) получаем
\(|\cos x_2 - \cos x_1| \le h\), \(|\sin x_2 - \sin x_1| \le h\).
Кроме того, функции \(x^3\) и \(x^5\) строго возрастают, поэтому \(x_2^3 - x_1^3 > 0\) и \(x_2^5 - x_1^5 > 0\).а) \(f(x_2) - f(x_1) = \cos x_2 - \cos x_1 + 2h \geq -h + 2h = h > 0\).б) \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2^5 - x_1^5) + 3(x_2^3 - x_1^3) + 7h > 0\).в) \(f(x_2) - f(x_1) = \sin x_2 - \sin x_1 + (x_2^3 - x_1^3) + h \geq -h + (x_2^3 - x_1^3) + h = x_2^3 - x_1^3 > 0\).г) \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2^5 - x_1^5) + 4(x_2^3 - x_1^3) + 8h > 0\).Следовательно, во всех четырёх случаях при x₂ > x₁ выполняется f(x₂) > f(x₁), то есть функции возрастают на ℝ.
\(|\cos x_2 - \cos x_1| \le h\), \(|\sin x_2 - \sin x_1| \le h\).
Кроме того, функции \(x^3\) и \(x^5\) строго возрастают, поэтому \(x_2^3 - x_1^3 > 0\) и \(x_2^5 - x_1^5 > 0\).а) \(f(x_2) - f(x_1) = \cos x_2 - \cos x_1 + 2h \geq -h + 2h = h > 0\).б) \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2^5 - x_1^5) + 3(x_2^3 - x_1^3) + 7h > 0\).в) \(f(x_2) - f(x_1) = \sin x_2 - \sin x_1 + (x_2^3 - x_1^3) + h \geq -h + (x_2^3 - x_1^3) + h = x_2^3 - x_1^3 > 0\).г) \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2^5 - x_1^5) + 4(x_2^3 - x_1^3) + 8h > 0\).Следовательно, во всех четырёх случаях при x₂ > x₁ выполняется f(x₂) > f(x₁), то есть функции возрастают на ℝ.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Докажите, что заданная функция возрастает:
а) у = cos x + 2х;
б) у = х^5 + Зх^3 + 7х + 4;
в) у = sin x + х^3 + х;
г) у = х^5 + 4х^3 + 8х - 8.
