Упр.26.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Построить эскизы функций со свойствами а)–г)С пояснением
Возьмём показательные функции, определённые на всей числовой прямой:
Кратко Например, подойдут следующие функции и их эскизы. Пунктир — горизонтальная асимптота; направление увеличения x — вправо.а) \(h(x) = 4 − 2^{-x}\)
а) h(x) = 4 − 2^(−x). Функция возрастает, а при x → +∞ приближается к 4 снизу. б) h(x) = 5 − 2^x. Функция убывает, а при x → −∞ приближается к 5 снизу. в) h(x) = −2 + 2^x. Функция возрастает, а при x → −∞ приближается к −2 сверху. г) h(x) = −3 + 2^(−x). Функция убывает, а при x → +∞ приближается к −3 сверху.Ответ: эскизы показаны в кратком решении; пунктиром отмечены горизонтальные асимптоты.
Кратко Например, подойдут следующие функции и их эскизы. Пунктир — горизонтальная асимптота; направление увеличения x — вправо.а) \(h(x) = 4 − 2^{-x}\)
y = 4 - - - - - - - - - -
_____
____/
•___/
/
/
(0; 3) x →б) \(h(x) = 5 − 2^x\)y = 5 - - - - - - - - - -
_____
\____
\___•
\
\
(0; 4) x →в) \(h(x) = −2 + 2^x\) /
/
____•
____/
____/
y = −2 - - - - - - - - - -
(0; −1) x →г) \(h(x) = −3 + 2^{-x}\) \
\
•____
\____
\____
y = −3 - - - - - - - - - -
(0; −2) x →Ответ: приведённые эскизы удовлетворяют условиям а)–г).Можно взять следующие функции, определённые на всей числовой прямой:а) \(h(x) = \{ 3 + x,\ \text{если } x < 0;\ 4 − \frac{1}{x + 1},\ \text{если } x ≥ 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; 3). Функция возрастает, а при x → +∞ её график приближается снизу к прямой \(y = 4\).б) \(h(x) = \{ 5 − \frac{1}{1 − x},\ \text{если } x ≤ 0;\ 4 − x,\ \text{если } x > 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; 4). Функция убывает, а при x → −∞ её график приближается снизу к прямой \(y = 5\).в) \(h(x) = \{ −2 + \frac{1}{1 − x},\ \text{если } x ≤ 0;\ −1 + x,\ \text{если } x > 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; −1). Функция возрастает, а при x → −∞ её график приближается сверху к прямой \(y = −2\).г) \(h(x) = \{ −2 − x,\ \text{если } x < 0;\ −3 + \frac{1}{x + 1},\ \text{если } x ≥ 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; −2). Функция убывает, а при x → +∞ её график приближается сверху к прямой y = −3.Для каждого эскиза нужно изобразить соответствующий линейный луч, соединённый с ветвью рациональной функции, и пунктиром провести указанную горизонтальную асимптоту.
Обе части соединяются в точке (0; 3). Функция возрастает, а при x → +∞ её график приближается снизу к прямой \(y = 4\).б) \(h(x) = \{ 5 − \frac{1}{1 − x},\ \text{если } x ≤ 0;\ 4 − x,\ \text{если } x > 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; 4). Функция убывает, а при x → −∞ её график приближается снизу к прямой \(y = 5\).в) \(h(x) = \{ −2 + \frac{1}{1 − x},\ \text{если } x ≤ 0;\ −1 + x,\ \text{если } x > 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; −1). Функция возрастает, а при x → −∞ её график приближается сверху к прямой \(y = −2\).г) \(h(x) = \{ −2 − x,\ \text{если } x < 0;\ −3 + \frac{1}{x + 1},\ \text{если } x ≥ 0 \}\).
Обе части соединяются в точке (0; −2). Функция убывает, а при x → +∞ её график приближается сверху к прямой y = −3.Для каждого эскиза нужно изобразить соответствующий линейный луч, соединённый с ветвью рациональной функции, и пунктиром провести указанную горизонтальную асимптоту.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина:
Постройте эскиз графика какой-нибудь функции у = h(x), х принадлежит R,
обладающей указанными свойствами:
a) lim h(x) = 4 и функция возрастает;
x — > +бесконечность
б) lim h(x) = 5 и функция убывает;
x — > -бесконечность
в) lim h(x) = -2 и функция возрастает;
x — > -бесконечность
г) lim h(x) = -3 и функция убывает.
x — > +бесконечность
