Упр.967 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Доказать возрастание функцииС пояснением
Область определения функции: \(x \ge 0\).
Пусть \(0 \le x_1 < x_2\). Тогда \(\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}\), поэтому
\(\displaystyle f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(1 + 2\sqrt{x_2}) + 2x_1(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}) > 0\).
Первое слагаемое положительно, а второе неотрицательно. Значит, \(f(x_2) > f(x_1)\).
Ответ: функция возрастает на [0; +∞).
Кратко \(D(f) = [0; +\infty)\). Пусть \(0 \le x_1 < x_2\). Тогда
\(\displaystyle f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(1 + 2\sqrt{x_2}) + 2x_1(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}) > 0\).
Ответ: функция возрастает на [0; +∞).
Пусть \(0 \le x_1 < x_2\). Тогда \(\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}\), поэтому
\(\displaystyle f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(1 + 2\sqrt{x_2}) + 2x_1(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}) > 0\).
Первое слагаемое положительно, а второе неотрицательно. Значит, \(f(x_2) > f(x_1)\).
Ответ: функция возрастает на [0; +∞).
Кратко \(D(f) = [0; +\infty)\). Пусть \(0 \le x_1 < x_2\). Тогда
\(\displaystyle f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(1 + 2\sqrt{x_2}) + 2x_1(\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}) > 0\).
Ответ: функция возрастает на [0; +∞).
Область определения: [0; +∞).Представим функцию в виде
\(\displaystyle f(x)=x+2x\sqrt{x}=x+2x^{3/2}\).При \(x>0\):
\(\displaystyle f′(x)=1+3\sqrt{x}\).Так как \(1+3\sqrt{x}>0\) при всех x>0, функция строго возрастает на (0; +∞). Кроме того, \(f(0)=0\), а при любом \(x>0\) имеем \(f(x)=x(1+2\sqrt{x})>0=f(0)\).Следовательно, функция возрастает на всей области определения [0; +∞).
\(\displaystyle f(x)=x+2x\sqrt{x}=x+2x^{3/2}\).При \(x>0\):
\(\displaystyle f′(x)=1+3\sqrt{x}\).Так как \(1+3\sqrt{x}>0\) при всех x>0, функция строго возрастает на (0; +∞). Кроме того, \(f(0)=0\), а при любом \(x>0\) имеем \(f(x)=x(1+2\sqrt{x})>0=f(0)\).Следовательно, функция возрастает на всей области определения [0; +∞).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Доказать, что функция у=х( 1 + 2 корень х) возрастает на всей области определения.
