Упр.952 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти оптимальный угол наклона стенок жёлобаС пояснением
1) Пусть ширина каждой доски равна \(a\), а угол наклона боковой стенки к основанию равен \(x\) радиан. Высота сечения равна \(a sin x\), а верхнее основание трапеции — \(a + 2a cos x\). Поэтому \(0 < x ≤ 2π/3\).2) Площадь поперечного сечения:
\(S'(x) = a^2(\cos x + \cos 2x) = 2a^2 \cos(3x/2) \cos(x/2)\).На промежутке \(0 < x ≤ 2π/3\) величина \(cos(x/2)\) положительна. Поэтому \(S′(x) = 0\) при
Кратко Пусть ширина доски равна \(a\), а угол наклона — \(x\) радиан, где \(0 < x ≤ 2π/3\).
\[S(x)=\frac{(a+a+2a\cos x)\cdot a\sin x}{2}=a^{2}(1+\cos x)\sin x.\]
3) Найдём производную:\(S'(x) = a^2(\cos x + \cos 2x) = 2a^2 \cos(3x/2) \cos(x/2)\).На промежутке \(0 < x ≤ 2π/3\) величина \(cos(x/2)\) положительна. Поэтому \(S′(x) = 0\) при
\[\cos\left(\frac{3x}{2}\right)=0,\]
\[\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2},\]
\[x=\frac{\pi}{3}.\]
При \(0 < x < π/3\) производная положительна, а при \(π/3 < x ≤ 2π/3\) — отрицательна. Значит, при \(x = \pi/3\) площадь наибольшая.Ответ: 60°.Кратко Пусть ширина доски равна \(a\), а угол наклона — \(x\) радиан, где \(0 < x ≤ 2π/3\).
\[S(x)=a^{2}(1+\cos x)\sin x,\]
\(S'(x) = a^2(\cos x + \cos 2x) = 2a^2 \cos(3x/2) \cos(x/2)\).\(S′(x) = 0\) при \(x = π/3\). До этой точки площадь возрастает, а после неё убывает.Ответ: 60°.Пусть ширина каждой доски равна a, а угол наклона боковой стенки к основанию равен x, где \(0 < x \le 2\pi/3\).Поперечное сечение жёлоба — трапеция с основаниями a и \(a + 2a\cos x\) и высотой \(a\sin x\). Поэтому
\[S = a^2(1 + \cos x)\sin x.\]
Используем формулы половинного угла:\[S = 4a^2\sin(x/2)\cos^3(x/2).\]
Положим\[p = \sin^2(x/2),\quad q = \cos^2(x/2).\]
Тогда p + q = 1, а\[S^2 = 16a^4pq^3.\]
Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к четырём положительным числам\[4p,\quad \frac{4q}{3},\quad \frac{4q}{3},\quad \frac{4q}{3}.\]
Их среднее арифметическое равно\[\frac{4p + 4q}{4} = p + q = 1.\]
Следовательно,\[(4p)\cdot\left(\frac{4q}{3}\right)^3 \leq 1.\]
Равенство достигается, когда все четыре числа равны:\[4p = \frac{4q}{3},\]
то есть \(q = 3p\). Вместе с \(p + q = 1\) получаем\[p = \frac{1}{4},\quad q = \frac{3}{4}.\]
Значит,\[\sin^2(x/2) = \frac{1}{4}.\]
Поскольку \(0 < x/2 \le \pi/3\), имеем\[\sin(x/2) = \frac{1}{2},\]
откуда\[x/2 = \frac{\pi}{6},\]
\[x = \frac{\pi}{3} = 60°.\]
Ответ: 60°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?
