Упр.26 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Найти радиусы окружностей и доказать равенствоС пояснением
Обозначим вершину угла через O, а центры окружностей — через O₁, O₂, ... . Центры лежат на биссектрисе угла. Рассматриваем последовательность окружностей, расположенных от первой к вершине угла.1) Из прямоугольного треугольника с углом 30° получаем:
\(OO_n = R_n/\sin 30° = 2R_n\).2) Соседние окружности касаются внешним образом, поэтому OₙOₙ₊₁ = Rₙ + Rₙ₊₁. С другой стороны, OₙOₙ₊₁ = 2Rₙ − 2Rₙ₊₁. Следовательно,
2Rₙ − 2Rₙ₊₁ = Rₙ + Rₙ₊₁,
Rₙ₊₁ = Rₙ/3.
Значит, радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем \(1/3\), причём \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\).3) Сумма прогрессии, начиная со второго члена, равна:
Кратко Центры окружностей лежат на биссектрисе угла. Если \(O\) — его вершина, то \(OO_n = R_n/\sin 30° = 2R_n\).Для соседних окружностей, расположенных по направлению к вершине:
2Rₙ − 2Rₙ₊₁ = Rₙ + Rₙ₊₁, откуда Rₙ₊₁ = Rₙ/3.
Следовательно, \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\); это убывающая геометрическая прогрессия с \(q = 1/3\).\(R_2 + R_3 + \ldots = \dfrac{R_1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{R_1}{2}\), поэтому \(R_1 + 2(R_2 + R_3 + ...) = 2R_1 = OO_1\).Ответ: \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\); сумма равна расстоянию \(OO_1 = 2R_1\).
\(OO_n = R_n/\sin 30° = 2R_n\).2) Соседние окружности касаются внешним образом, поэтому OₙOₙ₊₁ = Rₙ + Rₙ₊₁. С другой стороны, OₙOₙ₊₁ = 2Rₙ − 2Rₙ₊₁. Следовательно,
2Rₙ − 2Rₙ₊₁ = Rₙ + Rₙ₊₁,
Rₙ₊₁ = Rₙ/3.
Значит, радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем \(1/3\), причём \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\).3) Сумма прогрессии, начиная со второго члена, равна:
\[R_2 + R_3 + \ldots = \frac{R_1/3}{1 - 1/3} = \frac{R_1}{2}.\]
Поэтому \(R_1 + 2(R_2 + R_3 + ...) = 2R_1 = OO_1\), что и требовалось доказать.Ответ: \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\); указанная сумма равна \(2R_1\).Кратко Центры окружностей лежат на биссектрисе угла. Если \(O\) — его вершина, то \(OO_n = R_n/\sin 30° = 2R_n\).Для соседних окружностей, расположенных по направлению к вершине:
2Rₙ − 2Rₙ₊₁ = Rₙ + Rₙ₊₁, откуда Rₙ₊₁ = Rₙ/3.
Следовательно, \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\); это убывающая геометрическая прогрессия с \(q = 1/3\).\(R_2 + R_3 + \ldots = \dfrac{R_1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{R_1}{2}\), поэтому \(R_1 + 2(R_2 + R_3 + ...) = 2R_1 = OO_1\).Ответ: \(R_n = R_1(1/3)^{n-1}\); сумма равна расстоянию \(OO_1 = 2R_1\).
Рассмотрим две соседние окружности радиусов Rₙ и Rₙ₊₁, причём вторая расположена ближе к вершине угла. Проведём их общую касательную в точке взаимного касания. Она перпендикулярна линии центров, то есть биссектрисе угла. Пусть эта касательная пересекает стороны угла в точках A и B, а вершина угла — O.Треугольник OAB равнобедренный, его угол при O равен 60°. Следовательно, остальные углы также равны 60°, поэтому треугольник OAB равносторонний.Меньшая окружность касается сторон OA, OB и отрезка AB, поэтому она является вписанной окружностью треугольника OAB. Большая окружность касается прямой AB и продолжений сторон OA и OB, поэтому является вневписанной окружностью этого треугольника, противоположной вершине O.Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, его площадь — S, полупериметр \(s=\dfrac{3a}{2}\). Тогда радиус вписанной окружности равен
Rₙ₊₁=S/s,
а радиус указанной вневписанной окружности равен
Rₙ/Rₙ₊₁=s/(s-a)=(3a/2)/(a/2)=3,
то есть
Rₙ₊₁=Rₙ/3.Таким образом,
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac{1}{3}\).Её сумма, начиная со второго члена, равна
Rₙ₊₁=S/s,
а радиус указанной вневписанной окружности равен
\[R_n=\frac{S}{s-a}.\]
ПоэтомуRₙ/Rₙ₊₁=s/(s-a)=(3a/2)/(a/2)=3,
то есть
Rₙ₊₁=Rₙ/3.Таким образом,
\[R_2=\frac{R_1}{3},\quad R_3=\frac{R_1}{9},\quad \ldots,\]
\(R_n=R_1(1/3)^{n-1}\).Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac{1}{3}\).Её сумма, начиная со второго члена, равна
\[R_2+R_3+\ldots=\frac{R_1/3}{1-1/3}=\frac{R_1}{2}.\]
Следовательно,\[R_1+2(R_2+R_3+\ldots)=R_1+2\cdot\frac{R_1}{2}=2R_1.\]
Центр первой окружности лежит на биссектрисе угла. Опустив из него перпендикуляр на сторону угла, получим прямоугольный треугольник с углом 30° и противолежащим катетом \(R_1\). Поэтому расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно\[\frac{R_1}{\sin 30^\circ}=2R_1.\]
Итак, \(R_1+2(R_2+R_3+\ldots)=2R_1\), что равно расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен R1 Найти радиусы R2, R3, ..., Rn, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R1 + 2 (R2 + R3 + ... + Rn + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
