Упр.1420 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Варианты решения:
Докажите неравенство для положительных a, b, cС пояснением
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим трёх положительных чисел:
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot\left(\frac{b}{c}\right)\cdot\left(\frac{c}{a}\right)}=3\sqrt[3]{1}=3\).
Равенство достигается при \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то есть при a = b = c.
Ответ: неравенство доказано; равенство при a = b = c.
Кратко По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot\left(\frac{b}{c}\right)\cdot\left(\frac{c}{a}\right)}=3\).
Ответ: неравенство доказано; равенство при a = b = c.
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot\left(\frac{b}{c}\right)\cdot\left(\frac{c}{a}\right)}=3\sqrt[3]{1}=3\).
Равенство достигается при \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то есть при a = b = c.
Ответ: неравенство доказано; равенство при a = b = c.
Кратко По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
\(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{a}{b}\right)\cdot\left(\frac{b}{c}\right)\cdot\left(\frac{c}{a}\right)}=3\).
Ответ: неравенство доказано; равенство при a = b = c.
Так как a, b, c > 0, по неравенству Коши:
\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.\]
При этом\[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=\frac{1}{2}\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\geq 0.\]
Следовательно,\[\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3,\]
поэтому\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3.\]
Равенство достигается при \(a=b=c\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
1) a/b + b/c + c/a > = 3, если а > 0, b > 0, с > 0;
2) 2а2 + b2 + с2 > = 2а (b + с).
