Упр.108 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решение #1
Решение #2
Решение #3ИИ
Найдите сумму геометрической прогрессииС пояснением
Пусть второй член прогрессии равен \(b\). Тогда произведение первого и третьего членов равно \(b^2\). Поэтому сумма обратных величин первых трёх членов равна \(\dfrac{b_1 + b + b_3}{b^2} = \dfrac{39}{b^2}\).
По условию \(\dfrac{39}{b^2} = \dfrac{13}{27}\), откуда \(b^2 = 81\). Все члены положительны, значит, b = 9.
Тогда \(b_1 + b_3 = 39 - 9 = 30\) и \(b_1b_3 = 81\). Числа \(b_1\) и \(b_3\) — корни уравнения \(t^2 - 30t + 81 = 0\). Его корни: 27 и 3. Прогрессия убывает, поэтому \(b_1 = 27\), \(b_3 = 3\), а её знаменатель \(q = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\).
Сумма прогрессии: \(S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{81}{2} = 40{,}5\).
Ответ: 40,5.
Кратко Пусть второй член равен b. Тогда \(b_1b_3 = b^2\) и \(\dfrac{39}{b^2} = \dfrac{13}{27}\). Отсюда b = 9.
\(b_1 + b_3 = 30\), \(b_1b_3 = 81\). Из уравнения \(t^2 - 30t + 81 = 0\) получаем \(b_1 = 27\), \(b_3 = 3\), так как прогрессия убывает.
\(\displaystyle q = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\); \(S = \dfrac{27}{1 - \frac{1}{3}} = 40{,}5\).
Ответ: 40,5.
По условию \(\dfrac{39}{b^2} = \dfrac{13}{27}\), откуда \(b^2 = 81\). Все члены положительны, значит, b = 9.
Тогда \(b_1 + b_3 = 39 - 9 = 30\) и \(b_1b_3 = 81\). Числа \(b_1\) и \(b_3\) — корни уравнения \(t^2 - 30t + 81 = 0\). Его корни: 27 и 3. Прогрессия убывает, поэтому \(b_1 = 27\), \(b_3 = 3\), а её знаменатель \(q = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\).
Сумма прогрессии: \(S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{81}{2} = 40{,}5\).
Ответ: 40,5.
Кратко Пусть второй член равен b. Тогда \(b_1b_3 = b^2\) и \(\dfrac{39}{b^2} = \dfrac{13}{27}\). Отсюда b = 9.
\(b_1 + b_3 = 30\), \(b_1b_3 = 81\). Из уравнения \(t^2 - 30t + 81 = 0\) получаем \(b_1 = 27\), \(b_3 = 3\), так как прогрессия убывает.
\(\displaystyle q = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\); \(S = \dfrac{27}{1 - \frac{1}{3}} = 40{,}5\).
Ответ: 40,5.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Алимов, Колягин, Ткачёва 10-11 класс, Просвещение:
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна 13/27.
