1
Для покраски потолка требуется 270 г краски на 1 м2. Краска продаётся в банках по 3 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 37 м2?

2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите его площадь.

4
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5
Найдите корень уравнения .

6
Угол АСО равен 27град, где О — центр окружности. Его сторона СА касается окружности. Сторона СО пересекает окружность в точке В (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги АВ окружности. Ответ дайте в градусах.

7
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-6; 6). Найдите количество решений уравнения f\'(х) = 0 на отрезке [-3,5; 4,5].

8
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.

9
Найдите значение выражения

10
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени v = 2 моля воздуха объёмом =10л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле , где — постоянная, а Т = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15 960 Дж.

11
Расстояние между городами А и В равно 300 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

12
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

13
а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость а делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки С. б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.

15
Решите неравенство .

16
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причем H - середина AE. а) Докажите, что четырехугольник BCFE - параллелограмм. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB = 5 и AH = 4.

17
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

18
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более одного решения.

19
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу). а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел? б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических? в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.