Упр.6.74 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
74. 1) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
2) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказать: 1) Любые две медианы треугольника в точке их пересечения
делятся в отношении 2:1; 2) Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке;
Доказательство:
1) Проведем в треугольнике ABC медианы AA1 и BB1, пересекающиеся
в точке M;
2) Пусть PQ-средняя линия треугольника AMB, параллельная
стороне AB;
3) Четырехугольник A1 B1 PQ-параллелограмм, так как A1 B1 ||PQ и
A1 B1=PQ (как среднии линии ACB и AMB с общим основанием AB);
4) Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам, то A1 M=MP;
5) Точка P-середина отрезка AM (по построению), значит:
AP=PM=A1 M;
6) Таким образом, точка M пересечения медиан делит медиану AA1 в
отношении 2:1, считая от вершины A;
7) Медиану BB1 точка M делит в таком же отношении (BQ=QM=MB1);
8) Из этого следует, что медиана, проведенная из вершины C, также
проходит через точку M и делится ею в отношении 2:1, то есть все три
медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отошении 2:1, что и требовалось доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
