Упр.972 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Варианты решения:
Свойства умножения десятичных дробей
С пояснением 1) Переместительное свойство: a · b = b · a.
Проверка: 1,2 · 0,35 = 0,42 и 0,35 · 1,2 = 0,42.
2) Сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c).
Проверка: (0,4 · 1,5) · 0,2 = 0,6 · 0,2 = 0,12;
0,4 · (1,5 · 0,2) = 0,4 · 0,3 = 0,12.
3) Распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c.
Проверка: 1,2 · (0,3 + 0,45) = 1,2 · 0,75 = 0,9;
1,2 · 0,3 + 1,2 · 0,45 = 0,36 + 0,54 = 0,9.
Нескольких вычислений недостаточно, чтобы доказать свойства для любых десятичных дробей: нельзя проверить все дроби.
Доказать свойства в общем случае можно. Десятичные дроби записывают через натуральные числа с помощью знаменателей 10, 100, 1000 и так далее. При умножении таких дробей используются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения натуральных чисел. Поэтому эти свойства верны и для любых десятичных дробей.
Ответ: переместительное, сочетательное и распределительное свойства выполняются для любых десятичных дробей.
Кратко Переместительное свойство: a · b = b · a.
1,2 · 0,35 = 0,35 · 1,2 = 0,42.
Сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c).
(0,4 · 1,5) · 0,2 = 0,4 · (1,5 · 0,2) = 0,12.
Распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c.
1,2 · (0,3 + 0,45) = 1,2 · 0,3 + 1,2 · 0,45 = 0,9.
По нескольким примерам нельзя доказать правило для всех дробей. Общее доказательство получают, опираясь на свойства умножения натуральных чисел.
Ответ: все три свойства верны для любых десятичных дробей.
С пояснением 1) Переместительное свойство: a · b = b · a.
Проверка: 1,2 · 0,35 = 0,42 и 0,35 · 1,2 = 0,42.
2) Сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c).
Проверка: (0,4 · 1,5) · 0,2 = 0,6 · 0,2 = 0,12;
0,4 · (1,5 · 0,2) = 0,4 · 0,3 = 0,12.
3) Распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c.
Проверка: 1,2 · (0,3 + 0,45) = 1,2 · 0,75 = 0,9;
1,2 · 0,3 + 1,2 · 0,45 = 0,36 + 0,54 = 0,9.
Нескольких вычислений недостаточно, чтобы доказать свойства для любых десятичных дробей: нельзя проверить все дроби.
Доказать свойства в общем случае можно. Десятичные дроби записывают через натуральные числа с помощью знаменателей 10, 100, 1000 и так далее. При умножении таких дробей используются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения натуральных чисел. Поэтому эти свойства верны и для любых десятичных дробей.
Ответ: переместительное, сочетательное и распределительное свойства выполняются для любых десятичных дробей.
Кратко Переместительное свойство: a · b = b · a.
1,2 · 0,35 = 0,35 · 1,2 = 0,42.
Сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c).
(0,4 · 1,5) · 0,2 = 0,4 · (1,5 · 0,2) = 0,12.
Распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c.
1,2 · (0,3 + 0,45) = 1,2 · 0,3 + 1,2 · 0,45 = 0,9.
По нескольким примерам нельзя доказать правило для всех дробей. Общее доказательство получают, опираясь на свойства умножения натуральных чисел.
Ответ: все три свойства верны для любых десятичных дробей.
Свойства умножения десятичных дробей
Переместительное свойство:
a · b = b · a.
2,4 · 0,15 = 0,15 · 2,4 = 0,36.
Сочетательное свойство:
(a · b) · c = a · (b · c).
(0,25 · 0,8) · 1,6 = 0,25 · (0,8 · 1,6) = 0,32.
Распределительное свойство:
a · (b + c) = a · b + a · c.
0,7 · (1,2 + 0,35) = 0,7 · 1,2 + 0,7 · 0,35 = 1,085.
Проверка нескольких примеров не доказывает свойства для всех десятичных дробей: невозможно проверить каждую дробь.
Докажем свойства в общем случае. Любые конечные десятичные дроби можно привести к общему знаменателю 10ⁿ и записать так:
a = A/10ⁿ, b = B/10ⁿ, c = C/10ⁿ,
где A, B и C — натуральные числа или нуль.
Тогда:
a · b = AB/10²ⁿ = BA/10²ⁿ = b · a;
(a · b) · c = (AB)C/10³ⁿ = A(BC)/10³ⁿ = a · (b · c);
a · (b + c) = A(B + C)/10²ⁿ = (AB + AC)/10²ⁿ = a · b + a · c.
Здесь использованы уже известные свойства натуральных чисел. Значит, эти свойства выполняются и для любых конечных десятичных дробей.
Ответ: переместительное, сочетательное и распределительное свойства верны для любых десятичных дробей.
Переместительное свойство:
a · b = b · a.
2,4 · 0,15 = 0,15 · 2,4 = 0,36.
Сочетательное свойство:
(a · b) · c = a · (b · c).
(0,25 · 0,8) · 1,6 = 0,25 · (0,8 · 1,6) = 0,32.
Распределительное свойство:
a · (b + c) = a · b + a · c.
0,7 · (1,2 + 0,35) = 0,7 · 1,2 + 0,7 · 0,35 = 1,085.
Проверка нескольких примеров не доказывает свойства для всех десятичных дробей: невозможно проверить каждую дробь.
Докажем свойства в общем случае. Любые конечные десятичные дроби можно привести к общему знаменателю 10ⁿ и записать так:
a = A/10ⁿ, b = B/10ⁿ, c = C/10ⁿ,
где A, B и C — натуральные числа или нуль.
Тогда:
a · b = AB/10²ⁿ = BA/10²ⁿ = b · a;
(a · b) · c = (AB)C/10³ⁿ = A(BC)/10³ⁿ = a · (b · c);
a · (b + c) = A(B + C)/10²ⁿ = (AB + AC)/10²ⁿ = a · b + a · c.
Здесь использованы уже известные свойства натуральных чисел. Значит, эти свойства выполняются и для любых конечных десятичных дробей.
Ответ: переместительное, сочетательное и распределительное свойства верны для любых десятичных дробей.
Свойства умножения десятичных дробей
Переместительное свойство: a · b = b · a.
3,5 · 0,24 = 0,24 · 3,5 = 0,84.
Сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c).
(1,25 · 0,4) · 0,6 = 1,25 · (0,4 · 0,6) = 0,3.
Распределительное свойство: (a + b) · c = a · c + b · c.
(0,8 + 1,7) · 0,36 = 0,8 · 0,36 + 1,7 · 0,36 = 0,9.
Несколько вычислений показывают, что свойства выполняются в выбранных примерах, но этого недостаточно для доказательства их справедливости для всех десятичных дробей.
Доказать можно: десятичные дроби при умножении превращают в натуральные числа, убирая запятые, а потом в результате отделяют нужное число знаков запятой. Для натуральных чисел эти три свойства уже известны, поэтому они сохраняются и для десятичных дробей.
Ответ: переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения верны для любых десятичных дробей.
Переместительное свойство: a · b = b · a.
3,5 · 0,24 = 0,24 · 3,5 = 0,84.
Сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c).
(1,25 · 0,4) · 0,6 = 1,25 · (0,4 · 0,6) = 0,3.
Распределительное свойство: (a + b) · c = a · c + b · c.
(0,8 + 1,7) · 0,36 = 0,8 · 0,36 + 1,7 · 0,36 = 0,9.
Несколько вычислений показывают, что свойства выполняются в выбранных примерах, но этого недостаточно для доказательства их справедливости для всех десятичных дробей.
Доказать можно: десятичные дроби при умножении превращают в натуральные числа, убирая запятые, а потом в результате отделяют нужное число знаков запятой. Для натуральных чисел эти три свойства уже известны, поэтому они сохраняются и для десятичных дробей.
Ответ: переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения верны для любых десятичных дробей.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Запиши с помощью букв переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения. Проверь справедливость записанных равенств для значений букв, взятых из множества десятичных дробей по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей? Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае?
