Упр.854 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Варианты решения:
Записать и проверить свойства действий
С пояснением 1) Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a.
Проверка при a = 1,2 и b = 3,45:
1,2 + 3,45 = 4,65;
3,45 + 1,2 = 4,65.
2) Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
Проверка при a = 1,2, b = 3,45, c = 0,8:
(1,2 + 3,45) + 0,8 = 4,65 + 0,8 = 5,45;
1,2 + (3,45 + 0,8) = 1,2 + 4,25 = 5,45.
3) Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c.
Проверка первого равенства при a = 4,7, b = 2,35, c = 1,2:
(4,7 + 2,35) − 1,2 = 7,05 − 1,2 = 5,85;
(4,7 − 1,2) + 2,35 = 3,5 + 2,35 = 5,85.
4) Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c, если a ≥ b + c.
Проверка при a = 8,6, b = 2,1, c = 1,35:
8,6 − (2,1 + 1,35) = 8,6 − 3,45 = 5,15;
(8,6 − 2,1) − 1,35 = 6,5 − 1,35 = 5,15.
5) Проверка нескольких примеров не доказывает правило для всех десятичных дробей: она подтверждает его только для выбранных чисел.
6) Общее доказательство: любые конечные десятичные дроби можно привести к одинаковому числу знаков после запятой и представить как целое число десятых, сотых, тысячных и т. д. Тогда действия выполняются с целыми числами одинаковых долей. Для целых чисел указанные свойства верны, значит, они верны и для любых неотрицательных конечных десятичных дробей, когда вычитание возможно.
Ответ: равенства подтверждены; вычисления на отдельных примерах не являются общим доказательством, но правила доказываются сведением десятичных дробей к целому числу одинаковых разрядных долей.
Кратко Переместительное свойство:
a + b = b + a.
Пример: 1,2 + 3,45 = 3,45 + 1,2 = 4,65.
Сочетательное свойство:
(a + b) + c = a + (b + c).
Пример: (1,2 + 3,45) + 0,8 = 1,2 + (3,45 + 0,8) = 5,45.
Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b при a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c) при b ≥ c.
Пример: (4,7 + 2,35) − 1,2 = (4,7 − 1,2) + 2,35 = 5,85.
Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c при a ≥ b + c.
Пример: 8,6 − (2,1 + 1,35) = (8,6 − 2,1) − 1,35 = 5,15.
Несколько примеров не доказывают правило для всех чисел. В общем случае десятичные дроби можно выразить в одинаковых долях — десятых, сотых и т. д. — и применить известные свойства целых чисел.
Ответ: правила верны для неотрицательных десятичных дробей при указанных условиях вычитания.
С пояснением 1) Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a.
Проверка при a = 1,2 и b = 3,45:
1,2 + 3,45 = 4,65;
3,45 + 1,2 = 4,65.
2) Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
Проверка при a = 1,2, b = 3,45, c = 0,8:
(1,2 + 3,45) + 0,8 = 4,65 + 0,8 = 5,45;
1,2 + (3,45 + 0,8) = 1,2 + 4,25 = 5,45.
3) Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c.
Проверка первого равенства при a = 4,7, b = 2,35, c = 1,2:
(4,7 + 2,35) − 1,2 = 7,05 − 1,2 = 5,85;
(4,7 − 1,2) + 2,35 = 3,5 + 2,35 = 5,85.
4) Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c, если a ≥ b + c.
Проверка при a = 8,6, b = 2,1, c = 1,35:
8,6 − (2,1 + 1,35) = 8,6 − 3,45 = 5,15;
(8,6 − 2,1) − 1,35 = 6,5 − 1,35 = 5,15.
5) Проверка нескольких примеров не доказывает правило для всех десятичных дробей: она подтверждает его только для выбранных чисел.
6) Общее доказательство: любые конечные десятичные дроби можно привести к одинаковому числу знаков после запятой и представить как целое число десятых, сотых, тысячных и т. д. Тогда действия выполняются с целыми числами одинаковых долей. Для целых чисел указанные свойства верны, значит, они верны и для любых неотрицательных конечных десятичных дробей, когда вычитание возможно.
Ответ: равенства подтверждены; вычисления на отдельных примерах не являются общим доказательством, но правила доказываются сведением десятичных дробей к целому числу одинаковых разрядных долей.
Кратко Переместительное свойство:
a + b = b + a.
Пример: 1,2 + 3,45 = 3,45 + 1,2 = 4,65.
Сочетательное свойство:
(a + b) + c = a + (b + c).
Пример: (1,2 + 3,45) + 0,8 = 1,2 + (3,45 + 0,8) = 5,45.
Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b при a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c) при b ≥ c.
Пример: (4,7 + 2,35) − 1,2 = (4,7 − 1,2) + 2,35 = 5,85.
Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c при a ≥ b + c.
Пример: 8,6 − (2,1 + 1,35) = (8,6 − 2,1) − 1,35 = 5,15.
Несколько примеров не доказывают правило для всех чисел. В общем случае десятичные дроби можно выразить в одинаковых долях — десятых, сотых и т. д. — и применить известные свойства целых чисел.
Ответ: правила верны для неотрицательных десятичных дробей при указанных условиях вычитания.
Записать и проверить свойства действий
Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a.
6,08 + 1,7 = 1,7 + 6,08 = 7,78.
Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
(0,6 + 2,35) + 1,05 = 0,6 + (2,35 + 1,05) = 4.
Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c.
(5,4 + 1,28) − 2,1 = (5,4 − 2,1) + 1,28 = 4,58.
Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c, если a ≥ b + c.
9,3 − (2,45 + 1,6) = (9,3 − 2,45) − 1,6 = 5,25.
Проверка на нескольких примерах не доказывает правила для всех десятичных дробей. Доказать их можно: нужно записать дроби в одинаковых долях, например в сотых или тысячных, и применить эти правила для натуральных чисел.
Ответ: свойства и правила справедливы для десятичных дробей; при вычитании нужно, чтобы вычитаемое не было больше уменьшаемого.
Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a.
6,08 + 1,7 = 1,7 + 6,08 = 7,78.
Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
(0,6 + 2,35) + 1,05 = 0,6 + (2,35 + 1,05) = 4.
Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c.
(5,4 + 1,28) − 2,1 = (5,4 − 2,1) + 1,28 = 4,58.
Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c, если a ≥ b + c.
9,3 − (2,45 + 1,6) = (9,3 − 2,45) − 1,6 = 5,25.
Проверка на нескольких примерах не доказывает правила для всех десятичных дробей. Доказать их можно: нужно записать дроби в одинаковых долях, например в сотых или тысячных, и применить эти правила для натуральных чисел.
Ответ: свойства и правила справедливы для десятичных дробей; при вычитании нужно, чтобы вычитаемое не было больше уменьшаемого.
Записать и проверить свойства действий
Пусть a = 2,4, b = 3,75, c = 1,2.
1) Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a.
2,4 + 3,75 = 3,75 + 2,4 = 6,15.
2) Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
(2,4 + 3,75) + 1,2 = 2,4 + (3,75 + 1,2) = 7,35.
3) Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c.
(2,4 + 3,75) − 1,2 = 4,95;
(2,4 − 1,2) + 3,75 = 4,95;
2,4 + (3,75 − 1,2) = 4,95.
Оба варианта правила проверены, так как 2,4 ≥ 1,2 и 3,75 ≥ 1,2.
4) Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c, если a ≥ b + c.
Возьмём a = 10,5, b = 2,35, c = 1,4:
10,5 − (2,35 + 1,4) = (10,5 − 2,35) − 1,4 = 6,75.
По нескольким примерам нельзя сделать вывод для всех десятичных дробей: примеры лишь подтверждают правила для выбранных чисел. Для доказательства можно привести дроби к одинаковым долям — десятым, сотым или тысячным. Тогда действия выполняются с количеством одинаковых долей, а для них действуют те же правила, что и для натуральных чисел.
Ответ: все записанные свойства справедливы для любых неотрицательных десятичных дробей, если вычитание возможно.
Пусть a = 2,4, b = 3,75, c = 1,2.
1) Переместительное свойство сложения:
a + b = b + a.
2,4 + 3,75 = 3,75 + 2,4 = 6,15.
2) Сочетательное свойство сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
(2,4 + 3,75) + 1,2 = 2,4 + (3,75 + 1,2) = 7,35.
3) Вычитание числа из суммы:
(a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c;
(a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c.
(2,4 + 3,75) − 1,2 = 4,95;
(2,4 − 1,2) + 3,75 = 4,95;
2,4 + (3,75 − 1,2) = 4,95.
Оба варианта правила проверены, так как 2,4 ≥ 1,2 и 3,75 ≥ 1,2.
4) Вычитание суммы из числа:
a − (b + c) = (a − b) − c, если a ≥ b + c.
Возьмём a = 10,5, b = 2,35, c = 1,4:
10,5 − (2,35 + 1,4) = (10,5 − 2,35) − 1,4 = 6,75.
По нескольким примерам нельзя сделать вывод для всех десятичных дробей: примеры лишь подтверждают правила для выбранных чисел. Для доказательства можно привести дроби к одинаковым долям — десятым, сотым или тысячным. Тогда действия выполняются с количеством одинаковых долей, а для них действуют те же правила, что и для натуральных чисел.
Ответ: все записанные свойства справедливы для любых неотрицательных десятичных дробей, если вычитание возможно.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей, взяв значения букв по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей? Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае?
