Упр.636 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Найти вертикальные и смежные углы
Найти вертикальные и смежные углы
С пояснением Вертикальные углы лежат напротив друг друга при пересечении двух прямых:
∠1 и ∠4; ∠2 и ∠3; ∠5 и ∠7; ∠6 и ∠8.
Смежные углы имеют общую сторону:
∠1 и ∠2; ∠2 и ∠4; ∠4 и ∠3; ∠3 и ∠1;
∠5 и ∠6; ∠6 и ∠7; ∠7 и ∠8; ∠8 и ∠5.
Ответ: вертикальные — ∠1 и ∠4, ∠2 и ∠3, ∠5 и ∠7, ∠6 и ∠8; смежные — ∠1 и ∠2, ∠2 и ∠4, ∠4 и ∠3, ∠3 и ∠1, ∠5 и ∠6, ∠6 и ∠7, ∠7 и ∠8, ∠8 и ∠5.
Кратко а) Вертикальные углы: ∠1 и ∠4; ∠2 и ∠3; ∠5 и ∠7; ∠6 и ∠8.
б) Смежные углы: ∠1 и ∠2; ∠2 и ∠4; ∠4 и ∠3; ∠3 и ∠1; ∠5 и ∠6; ∠6 и ∠7; ∠7 и ∠8; ∠8 и ∠5.
Ответ: указанные пары углов.
С пояснением Вертикальные углы лежат напротив друг друга при пересечении двух прямых:
∠1 и ∠4; ∠2 и ∠3; ∠5 и ∠7; ∠6 и ∠8.
Смежные углы имеют общую сторону:
∠1 и ∠2; ∠2 и ∠4; ∠4 и ∠3; ∠3 и ∠1;
∠5 и ∠6; ∠6 и ∠7; ∠7 и ∠8; ∠8 и ∠5.
Ответ: вертикальные — ∠1 и ∠4, ∠2 и ∠3, ∠5 и ∠7, ∠6 и ∠8; смежные — ∠1 и ∠2, ∠2 и ∠4, ∠4 и ∠3, ∠3 и ∠1, ∠5 и ∠6, ∠6 и ∠7, ∠7 и ∠8, ∠8 и ∠5.
Кратко а) Вертикальные углы: ∠1 и ∠4; ∠2 и ∠3; ∠5 и ∠7; ∠6 и ∠8.
б) Смежные углы: ∠1 и ∠2; ∠2 и ∠4; ∠4 и ∠3; ∠3 и ∠1; ∠5 и ∠6; ∠6 и ∠7; ∠7 и ∠8; ∠8 и ∠5.
Ответ: указанные пары углов.
Разбор 2 Найти накрест лежащие углы
Найти накрест лежащие углы
С пояснением 1) ∠3 и ∠6 находятся между прямыми a и b, значит, они внутренние.
2) Они лежат по разные стороны от секущей c, поэтому их называют накрест лежащими.
3) ∠1 и ∠8 находятся вне полосы между прямыми a и b, значит, они внешние. Они также расположены по разные стороны от секущей c, поэтому являются внешними накрест лежащими.
4) Ещё одна пара внутренних накрест лежащих углов: ∠4 и ∠5.
5) Ещё одна пара внешних накрест лежащих углов: ∠2 и ∠7.
Ответ: внутренние накрест лежащие — ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5; внешние накрест лежащие — ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Кратко Внутренние углы находятся между прямыми a и b, внешние — вне этих прямых. Накрест лежащие углы расположены по разные стороны от секущей c.
Внутренние накрест лежащие: ∠3 и ∠6; ∠4 и ∠5.
Внешние накрест лежащие: ∠1 и ∠8; ∠2 и ∠7.
Ответ: ∠3 и ∠6 — внутренние накрест лежащие, ∠1 и ∠8 — внешние накрест лежащие.
С пояснением 1) ∠3 и ∠6 находятся между прямыми a и b, значит, они внутренние.
2) Они лежат по разные стороны от секущей c, поэтому их называют накрест лежащими.
3) ∠1 и ∠8 находятся вне полосы между прямыми a и b, значит, они внешние. Они также расположены по разные стороны от секущей c, поэтому являются внешними накрест лежащими.
4) Ещё одна пара внутренних накрест лежащих углов: ∠4 и ∠5.
5) Ещё одна пара внешних накрест лежащих углов: ∠2 и ∠7.
Ответ: внутренние накрест лежащие — ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5; внешние накрест лежащие — ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Кратко Внутренние углы находятся между прямыми a и b, внешние — вне этих прямых. Накрест лежащие углы расположены по разные стороны от секущей c.
Внутренние накрест лежащие: ∠3 и ∠6; ∠4 и ∠5.
Внешние накрест лежащие: ∠1 и ∠8; ∠2 и ∠7.
Ответ: ∠3 и ∠6 — внутренние накрест лежащие, ∠1 и ∠8 — внешние накрест лежащие.
Разбор 3 Назвать односторонние углы
Назвать односторонние углы
С пояснением 1) ∠3 и ∠5 лежат между прямыми a и b, поэтому они внутренние.
2) Они находятся по одну сторону от секущей c, поэтому это внутренние односторонние углы.
3) ∠1 и ∠7 лежат вне полосы между прямыми a и b, значит, они внешние. Но они расположены по разные стороны от секущей c, поэтому односторонними их называть нельзя. Это внешние накрест лежащие углы.
4) Ещё одна пара внутренних односторонних углов: ∠4 и ∠6. Внешние односторонние пары: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Ответ: внутренние односторонние — ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6; внешние односторонние — ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Кратко ∠3 и ∠5 находятся между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c, поэтому они внутренние односторонние.
∠1 и ∠7 — внешние, но они по разные стороны от секущей c. Это внешние накрест лежащие углы, а не односторонние.
Ещё пары: ∠4 и ∠6 — внутренние односторонние; ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7 — внешние односторонние.
Ответ: ∠1 и ∠7 нельзя называть внешними односторонними.
С пояснением 1) ∠3 и ∠5 лежат между прямыми a и b, поэтому они внутренние.
2) Они находятся по одну сторону от секущей c, поэтому это внутренние односторонние углы.
3) ∠1 и ∠7 лежат вне полосы между прямыми a и b, значит, они внешние. Но они расположены по разные стороны от секущей c, поэтому односторонними их называть нельзя. Это внешние накрест лежащие углы.
4) Ещё одна пара внутренних односторонних углов: ∠4 и ∠6. Внешние односторонние пары: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Ответ: внутренние односторонние — ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6; внешние односторонние — ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Кратко ∠3 и ∠5 находятся между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c, поэтому они внутренние односторонние.
∠1 и ∠7 — внешние, но они по разные стороны от секущей c. Это внешние накрест лежащие углы, а не односторонние.
Ещё пары: ∠4 и ∠6 — внутренние односторонние; ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7 — внешние односторонние.
Ответ: ∠1 и ∠7 нельзя называть внешними односторонними.
Разбор 4 Найти углы 2, 3 и 4
Найти углы 2, 3 и 4
С пояснением 1) ∠2 = 180° − 135° = 45°, так как углы 1 и 2 вместе образуют развёрнутый угол.
2) ∠3 = ∠2 = 45°, так как это вертикальные углы.
3) ∠4 = ∠1 = 135°, так как это вертикальные углы.
Ответ: ∠2 = 45°, ∠3 = 45°, ∠4 = 135°.
Кратко 1) ∠2 = 180° − 135° = 45°.
2) ∠3 = 45°.
3) ∠4 = 135°.
Ответ: ∠2 = 45°, ∠3 = 45°, ∠4 = 135°.
С пояснением 1) ∠2 = 180° − 135° = 45°, так как углы 1 и 2 вместе образуют развёрнутый угол.
2) ∠3 = ∠2 = 45°, так как это вертикальные углы.
3) ∠4 = ∠1 = 135°, так как это вертикальные углы.
Ответ: ∠2 = 45°, ∠3 = 45°, ∠4 = 135°.
Кратко 1) ∠2 = 180° − 135° = 45°.
2) ∠3 = 45°.
3) ∠4 = 135°.
Ответ: ∠2 = 45°, ∠3 = 45°, ∠4 = 135°.
Разбор 5 Найти углы 5, 6 и 8
Найти углы 5, 6 и 8
С пояснением ∠5 и ∠7 — вертикальные углы, поэтому ∠5 = 45°.
∠6 и ∠7 составляют развёрнутый угол:
180° − 45° = 135°.
Значит, ∠6 = 135°.
∠8 и ∠6 — вертикальные углы, поэтому ∠8 = 135°.
Ответ: ∠5 = 45°, ∠6 = 135°, ∠8 = 135°.
Кратко ∠5 = ∠7 = 45°.
∠6 = 180° − 45° = 135°.
∠8 = ∠6 = 135°.
Ответ: ∠5 = 45°, ∠6 = 135°, ∠8 = 135°.
С пояснением ∠5 и ∠7 — вертикальные углы, поэтому ∠5 = 45°.
∠6 и ∠7 составляют развёрнутый угол:
180° − 45° = 135°.
Значит, ∠6 = 135°.
∠8 и ∠6 — вертикальные углы, поэтому ∠8 = 135°.
Ответ: ∠5 = 45°, ∠6 = 135°, ∠8 = 135°.
Кратко ∠5 = ∠7 = 45°.
∠6 = 180° − 45° = 135°.
∠8 = ∠6 = 135°.
Ответ: ∠5 = 45°, ∠6 = 135°, ∠8 = 135°.
Разбор 6 Сравнить углы при параллельных прямых и секущей
Варианты решения:
Сравнить углы при параллельных прямых и секущей
С пояснением 1) Накрест лежащие внутренние углы равны:
∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5.
2) Накрест лежащие внешние углы также равны:
∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8.
3) Сумма внутренних односторонних углов равна 180°:
∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°.
4) Сумма внешних односторонних углов тоже равна 180°:
∠1 + ∠8 = 180°, ∠2 + ∠7 = 180°.
5) Проверим гипотезу измерением. В первом чертеже пусть острые углы равны 55°, тогда тупые равны 125°. Накрест лежащие углы имеют одинаковые величины, а односторонние дают 55° + 125° = 180°.
6) Во втором чертеже пусть получились углы 72° и 108°. Снова накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 72° + 108° = 180°.
Закономерность верна для любых двух параллельных прямых и секущей: соответствующие и вертикальные углы равны, а сумма соседних углов равна 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°; закономерность верна в общем случае.
Кратко Гипотеза:
∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;
∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8;
∠3 + ∠5 = ∠4 + ∠6 = 180°;
∠1 + ∠8 = ∠2 + ∠7 = 180°.
Проверка: при углах 55° и 125° получаем 55° + 125° = 180°; при углах 72° и 108° получаем 72° + 108° = 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, односторонние в сумме составляют 180°. Это верно для любых параллельных прямых и секущей.
С пояснением 1) Накрест лежащие внутренние углы равны:
∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5.
2) Накрест лежащие внешние углы также равны:
∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8.
3) Сумма внутренних односторонних углов равна 180°:
∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°.
4) Сумма внешних односторонних углов тоже равна 180°:
∠1 + ∠8 = 180°, ∠2 + ∠7 = 180°.
5) Проверим гипотезу измерением. В первом чертеже пусть острые углы равны 55°, тогда тупые равны 125°. Накрест лежащие углы имеют одинаковые величины, а односторонние дают 55° + 125° = 180°.
6) Во втором чертеже пусть получились углы 72° и 108°. Снова накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 72° + 108° = 180°.
Закономерность верна для любых двух параллельных прямых и секущей: соответствующие и вертикальные углы равны, а сумма соседних углов равна 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°; закономерность верна в общем случае.
Кратко Гипотеза:
∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;
∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8;
∠3 + ∠5 = ∠4 + ∠6 = 180°;
∠1 + ∠8 = ∠2 + ∠7 = 180°.
Проверка: при углах 55° и 125° получаем 55° + 125° = 180°; при углах 72° и 108° получаем 72° + 108° = 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, односторонние в сумме составляют 180°. Это верно для любых параллельных прямых и секущей.
Сравнить углы при параллельных прямых и секущей
Накрест лежащие пары:
внутренние — ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;
внешние — ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8.
Односторонние пары:
внутренние — ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°;
внешние — ∠1 + ∠8 = 180°, ∠2 + ∠7 = 180°.
Проверим на других чертежах: если один угол равен 40°, то связанный с ним угол равен 40°, а односторонний — 140°; если угол равен 65°, получаем 65° и 115°. В обоих случаях сумма односторонних углов равна 180°.
Закономерность верна в общем случае. Если мысленно сдвинуть прямую b до совпадения с параллельной ей прямой a, направления прямых и величины углов не изменятся. Накрест лежащие углы совместятся с равными вертикальными углами, а односторонние образуют развёрнутый угол 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°.
Накрест лежащие пары:
внутренние — ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5;
внешние — ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8.
Односторонние пары:
внутренние — ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 + ∠6 = 180°;
внешние — ∠1 + ∠8 = 180°, ∠2 + ∠7 = 180°.
Проверим на других чертежах: если один угол равен 40°, то связанный с ним угол равен 40°, а односторонний — 140°; если угол равен 65°, получаем 65° и 115°. В обоих случаях сумма односторонних углов равна 180°.
Закономерность верна в общем случае. Если мысленно сдвинуть прямую b до совпадения с параллельной ей прямой a, направления прямых и величины углов не изменятся. Накрест лежащие углы совместятся с равными вертикальными углами, а односторонние образуют развёрнутый угол 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°.
Сравнить углы при параллельных прямых и секущей
Если измерить углы на чертеже, то получаются пары одинаковых углов:
∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5 — накрест лежащие внутренние;
∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8 — накрест лежащие внешние.
Односторонние углы дополняют друг друга до развёрнутого угла:
∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6 — внутренние;
∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7 — внешние.
Проверка на других чертежах:
1) При ∠3 = 38°: ∠6 = 38°, а ∠5 = 142°; 38° + 142° = 180°.
2) При ∠4 = 107°: ∠5 = 107°, а ∠6 = 73°; 107° + 73° = 180°.
Гипотеза: накрест лежащие углы имеют одинаковую величину, а односторонние вместе составляют 180°.
Это можно распространить на любые параллельные прямые и секущую: при изменении наклона секущей углы изменяются, но у параллельных прямых одинаково сохраняются равные пары и пары с суммой 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, односторонние углы в сумме равны 180°.
Если измерить углы на чертеже, то получаются пары одинаковых углов:
∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5 — накрест лежащие внутренние;
∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8 — накрест лежащие внешние.
Односторонние углы дополняют друг друга до развёрнутого угла:
∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6 — внутренние;
∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7 — внешние.
Проверка на других чертежах:
1) При ∠3 = 38°: ∠6 = 38°, а ∠5 = 142°; 38° + 142° = 180°.
2) При ∠4 = 107°: ∠5 = 107°, а ∠6 = 73°; 107° + 73° = 180°.
Гипотеза: накрест лежащие углы имеют одинаковую величину, а односторонние вместе составляют 180°.
Это можно распространить на любые параллельные прямые и секущую: при изменении наклона секущей углы изменяются, но у параллельных прямых одинаково сохраняются равные пары и пары с суммой 180°.
Ответ: накрест лежащие углы равны, односторонние углы в сумме равны 180°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
1) Параллельные прямые а и b пересечены прямой с. Среди образовавшихся углов найди:
а) вертикальные углы; б) смежные углы.
2) Как ты думаешь, почему ?3 и ?6 называют внутренними накрест лежащими? Почему ?1 и ?8 называют внешними накрест лежащими? Есть ли ещё внутренние и внешние накрест лежащие углы на этом черетеже?
3) Почему ?3 и ?5 называют внутренними односторонними? Почему ?1 и ?7 называют внешними односторонними? Есть ли ещё внутренние и внешние односторонние углы на этом чертеже?
4) ?1 = 135°. Найди величины углов 2, 3 и 4.
5) ?7 = 45°. Найди величины углов 5, 6 и 8.
6) Понаблюдай, как связаны между собой величины накрест лежащих углов (внутренних и внешних)? Как связаны между собой величины односторонних углов (внутренних и внешних)? Сформулируй гипотезу и проверь её для каких-нибудь двух других параллельных прямых а и b и секущей с.
Можно ли установленную закономерность распространить на общий случай? Почему?
