Упр.416 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Измерить хорду при угле 60°
Измерить хорду при угле 60°
С пояснением 1) Проведём окружность радиусом 4 см и построим центральный угол ∠АОВ = 60°.
2) Измерим хорду АВ: АВ = 4 см.
3) При двух повторениях опыта получаем такую же длину хорды: 4 см.
Хорда, стягивающая центральный угол 60°, равна радиусу окружности.
Ответ: АВ = 4 см; во всех трёх случаях длина хорды одинакова.
Кратко АВ = 4 см.
При повторении измерений хорда снова равна 4 см.
Вывод: в окружности радиусом 4 см хорды, которым соответствует центральный угол 60°, имеют длину 4 см.
Ответ: 4 см.
С пояснением 1) Проведём окружность радиусом 4 см и построим центральный угол ∠АОВ = 60°.
2) Измерим хорду АВ: АВ = 4 см.
3) При двух повторениях опыта получаем такую же длину хорды: 4 см.
Хорда, стягивающая центральный угол 60°, равна радиусу окружности.
Ответ: АВ = 4 см; во всех трёх случаях длина хорды одинакова.
Кратко АВ = 4 см.
При повторении измерений хорда снова равна 4 см.
Вывод: в окружности радиусом 4 см хорды, которым соответствует центральный угол 60°, имеют длину 4 см.
Ответ: 4 см.
Разбор 2 Построить правильный шестиугольник циркулем и линейкой
Варианты решения:
Построить правильный шестиугольник циркулем и линейкой
С пояснением 1) Проведём окружность с центром O и отметим на ней точку A.
2) Не меняя раствора циркуля, поставим его иглу в точку A и отметим на окружности следующую точку B.
3) Тем же раствором циркуля последовательно отметим точки C, D, E и F. Каждый раз откладываем на окружности отрезок, равный её радиусу.
4) Соединим линейкой точки A, B, C, D, E, F по порядку, а затем точки F и A.
Все шесть сторон равны радиусу окружности, поэтому получился правильный шестиугольник.
Ответ: правильный шестиугольник ABCDEF построен.
Кратко 1) Начертить окружность и отметить на ней точку A.
2) Не меняя раствора циркуля, отложить на окружности шесть равных отрезков: AB, BC, CD, DE, EF и FA.
3) Соединить соседние точки линейкой.
Ответ: получится правильный шестиугольник ABCDEF.
С пояснением 1) Проведём окружность с центром O и отметим на ней точку A.
2) Не меняя раствора циркуля, поставим его иглу в точку A и отметим на окружности следующую точку B.
3) Тем же раствором циркуля последовательно отметим точки C, D, E и F. Каждый раз откладываем на окружности отрезок, равный её радиусу.
4) Соединим линейкой точки A, B, C, D, E, F по порядку, а затем точки F и A.
Все шесть сторон равны радиусу окружности, поэтому получился правильный шестиугольник.
Ответ: правильный шестиугольник ABCDEF построен.
Кратко 1) Начертить окружность и отметить на ней точку A.
2) Не меняя раствора циркуля, отложить на окружности шесть равных отрезков: AB, BC, CD, DE, EF и FA.
3) Соединить соседние точки линейкой.
Ответ: получится правильный шестиугольник ABCDEF.
Построить правильный шестиугольник циркулем и линейкой
1) Начертить окружность с центром O и выбрать на ней точку A.
2) Не изменяя раствор циркуля, провести окружность с центром в точке A. Одну из точек её пересечения с первой окружностью обозначить B.
3) Таким же способом последовательно получить точки C, D, E и F: центры новых окружностей — точки B, C, D и E.
4) Соединить линейкой точки A, B, C, D, E и F по порядку.
Ответ: получится правильный шестиугольник ABCDEF.
1) Начертить окружность с центром O и выбрать на ней точку A.
2) Не изменяя раствор циркуля, провести окружность с центром в точке A. Одну из точек её пересечения с первой окружностью обозначить B.
3) Таким же способом последовательно получить точки C, D, E и F: центры новых окружностей — точки B, C, D и E.
4) Соединить линейкой точки A, B, C, D, E и F по порядку.
Ответ: получится правильный шестиугольник ABCDEF.
Построить правильный шестиугольник циркулем и линейкой
1) Начертить окружность с центром O. Провести через центр прямую; точки её пересечения с окружностью обозначить A и D.
2) Установить раствор циркуля, равный OA. Провести окружность с центром A. Точки её пересечения с первой окружностью обозначить B и F.
3) Тем же раствором циркуля провести окружность с центром D. Точки пересечения с первой окружностью обозначить C и E.
4) Соединить линейкой точки A, B, C, D, E, F по порядку.
Ответ: получится правильный шестиугольник ABCDEF.
1) Начертить окружность с центром O. Провести через центр прямую; точки её пересечения с окружностью обозначить A и D.
2) Установить раствор циркуля, равный OA. Провести окружность с центром A. Точки её пересечения с первой окружностью обозначить B и F.
3) Тем же раствором циркуля провести окружность с центром D. Точки пересечения с первой окружностью обозначить C и E.
4) Соединить линейкой точки A, B, C, D, E, F по порядку.
Ответ: получится правильный шестиугольник ABCDEF.
Разбор 3 Построй правильный треугольник и измерь углы между радиусами
Построй правильный треугольник и измерь углы между радиусами
С пояснением 1) Отметим на окружности 6 точек, откладывая циркулем расстояние, равное радиусу окружности.
2) Соединим через одну три отмеченные точки. Получится правильный треугольник.
3) Проведём радиусы к его вершинам и измерим углы между соседними радиусами. Каждый угол равен 120°.
Вывод: радиусы, проведённые к вершинам правильного треугольника, делят круг на 3 равных сектора, а окружность — на 3 равные дуги.
Ответ: углы между соседними радиусами равны 120°.
Кратко Соединим через одну три из шести отмеченных точек. Получится правильный треугольник. Углы между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равны:
360° : 3 = 120°.
Радиусы делят круг на 3 равных сектора, а окружность — на 3 равные дуги.
Ответ: по 120°.
С пояснением 1) Отметим на окружности 6 точек, откладывая циркулем расстояние, равное радиусу окружности.
2) Соединим через одну три отмеченные точки. Получится правильный треугольник.
3) Проведём радиусы к его вершинам и измерим углы между соседними радиусами. Каждый угол равен 120°.
Вывод: радиусы, проведённые к вершинам правильного треугольника, делят круг на 3 равных сектора, а окружность — на 3 равные дуги.
Ответ: углы между соседними радиусами равны 120°.
Кратко Соединим через одну три из шести отмеченных точек. Получится правильный треугольник. Углы между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равны:
360° : 3 = 120°.
Радиусы делят круг на 3 равных сектора, а окружность — на 3 равные дуги.
Ответ: по 120°.
Разбор 4 Построить правильные четырёхугольник и пятиугольник
Построить правильные четырёхугольник и пятиугольник
С пояснением 1) Начертить окружность с центром O.
2) Провести через O два диаметра, образующие угол 90°. Концы диаметров обозначить A, B, C, D.
3) Соединить точки A, B, C, D по порядку. Получится правильный четырёхугольник — квадрат.
1) Начертить окружность с центром O.
2) Разделить полный угол: 360° : 5 = 72°.
3) С помощью транспортира отложить от центра O пять углов по 72°. Лучи пересекут окружность в точках A, B, C, D, E.
4) Соединить точки A, B, C, D, E по порядку. Получится правильный пятиугольник.
Ответ: правильный четырёхугольник строят по углам в центре 90°, а правильный пятиугольник — по углам в центре 72°.
Кратко Правильный четырёхугольник:
1) Начертить окружность с центром O.
2) Провести два перпендикулярных диаметра.
3) Соединить по порядку их концы.
Правильный пятиугольник:
1) Начертить окружность с центром O.
2) Вычислить: 360° : 5 = 72°.
3) Отложить от центра на окружности пять углов по 72° и соединить полученные точки по порядку.
Ответ: получится квадрат и правильный пятиугольник.
С пояснением 1) Начертить окружность с центром O.
2) Провести через O два диаметра, образующие угол 90°. Концы диаметров обозначить A, B, C, D.
3) Соединить точки A, B, C, D по порядку. Получится правильный четырёхугольник — квадрат.
1) Начертить окружность с центром O.
2) Разделить полный угол: 360° : 5 = 72°.
3) С помощью транспортира отложить от центра O пять углов по 72°. Лучи пересекут окружность в точках A, B, C, D, E.
4) Соединить точки A, B, C, D, E по порядку. Получится правильный пятиугольник.
Ответ: правильный четырёхугольник строят по углам в центре 90°, а правильный пятиугольник — по углам в центре 72°.
Кратко Правильный четырёхугольник:
1) Начертить окружность с центром O.
2) Провести два перпендикулярных диаметра.
3) Соединить по порядку их концы.
Правильный пятиугольник:
1) Начертить окружность с центром O.
2) Вычислить: 360° : 5 = 72°.
3) Отложить от центра на окружности пять углов по 72° и соединить полученные точки по порядку.
Ответ: получится квадрат и правильный пятиугольник.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Математическое исследование
1) Проведи окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Построй центральный угол АОВ, равный 60^о. Измерь длину хорды АВ. Повтори эксперимент ещё два раза. Что ты замечаешь? Сделай вывод.
2) Исходя из полученного вывода, придумай, как построить правильный шестиугольник, пользуясь только циркулем и линейкой без делений.
3) Раздели окружность с помощью циркуля на 6 равных частей. Соедини отрезками три из отмеченных точек так, чтобы образовался правильный треугольник. Измерь углы между радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника. Сделай вывод.
4) Как, пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построить правильные четырёхугольник и пятиугольник? Выполни построения.
Объясни, почему выводы, полученные в этом исследовании, являются пока лишь гипотезами. Попробуй придумать доказательство своих гипотез для общего случая.
