Упр.395 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Как изменится дробь при прибавлении одного числа к числителю и знаменателю?
Как изменится дробь при прибавлении одного числа к числителю и знаменателю?
С пояснением Пусть дана правильная дробь a/b, поэтому a < b. Прибавим к числителю и знаменателю одно и то же натуральное число n. Получим дробь (a + n)/(b + n).
1) Новая дробь останется правильной, так как из a < b следует a + n < b + n.
2) Сравним дроби a/b и (a + n)/(b + n). Для этого сравним произведения:
a(b + n) = ab + an,
b(a + n) = ab + bn.
3) Так как a < b, то an < bn. Значит, ab + an < ab + bn, поэтому a/b < (a + n)/(b + n).
Ответ: если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавить одно и то же натуральное число, дробь увеличится, но останется правильной.
Кратко Пусть a/b — правильная дробь, a < b, а n — натуральное число.
Так как an < bn, то ab + an < ab + bn. Поэтому
a/b < (a + n)/(b + n).
При этом a + n < b + n, значит, новая дробь тоже правильная.
Ответ: правильная дробь увеличится, но останется правильной.
С пояснением Пусть дана правильная дробь a/b, поэтому a < b. Прибавим к числителю и знаменателю одно и то же натуральное число n. Получим дробь (a + n)/(b + n).
1) Новая дробь останется правильной, так как из a < b следует a + n < b + n.
2) Сравним дроби a/b и (a + n)/(b + n). Для этого сравним произведения:
a(b + n) = ab + an,
b(a + n) = ab + bn.
3) Так как a < b, то an < bn. Значит, ab + an < ab + bn, поэтому a/b < (a + n)/(b + n).
Ответ: если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавить одно и то же натуральное число, дробь увеличится, но останется правильной.
Кратко Пусть a/b — правильная дробь, a < b, а n — натуральное число.
Так как an < bn, то ab + an < ab + bn. Поэтому
a/b < (a + n)/(b + n).
При этом a + n < b + n, значит, новая дробь тоже правильная.
Ответ: правильная дробь увеличится, но останется правильной.
Разбор 2 Как изменится неправильная дробь при прибавлении одного числа к числителю и знаменателю?
Как изменится неправильная дробь при прибавлении одного числа к числителю и знаменателю?
С пояснением Гипотеза: если неправильная дробь больше 1, то она уменьшится; если она равна 1, то не изменится.
Пусть дана дробь a/b, где a ≥ b, а n — натуральное число. После прибавления n получим дробь (a + n)/(b + n).
1) Если a > b, обозначим a − b = c. Тогда:
a/b = (b + c)/b = 1 + c/b,
(a + n)/(b + n) = (b + n + c)/(b + n) = 1 + c/(b + n).
У дробей c/b и c/(b + n) одинаковые числители, но b + n > b. Значит, c/(b + n) < c/b, поэтому новая дробь меньше исходной.
2) Если a = b, то:
a/b = 1 и (a + n)/(b + n) = 1.
Следовательно, дробь не изменится.
Ответ: неправильная дробь, большая 1, уменьшится, а дробь, равная 1, не изменится.
Кратко Пусть a ≥ b, а n — натуральное число. После прибавления получим (a + n)/(b + n).
Если a > b, то a = b + c, где c > 0. Тогда исходная дробь равна 1 + c/b, а новая — 1 + c/(b + n). Так как b + n > b, новая дробь меньше.
Если a = b, обе дроби равны 1.
Ответ: дробь, большая 1, уменьшится; дробь, равная 1, не изменится.
С пояснением Гипотеза: если неправильная дробь больше 1, то она уменьшится; если она равна 1, то не изменится.
Пусть дана дробь a/b, где a ≥ b, а n — натуральное число. После прибавления n получим дробь (a + n)/(b + n).
1) Если a > b, обозначим a − b = c. Тогда:
a/b = (b + c)/b = 1 + c/b,
(a + n)/(b + n) = (b + n + c)/(b + n) = 1 + c/(b + n).
У дробей c/b и c/(b + n) одинаковые числители, но b + n > b. Значит, c/(b + n) < c/b, поэтому новая дробь меньше исходной.
2) Если a = b, то:
a/b = 1 и (a + n)/(b + n) = 1.
Следовательно, дробь не изменится.
Ответ: неправильная дробь, большая 1, уменьшится, а дробь, равная 1, не изменится.
Кратко Пусть a ≥ b, а n — натуральное число. После прибавления получим (a + n)/(b + n).
Если a > b, то a = b + c, где c > 0. Тогда исходная дробь равна 1 + c/b, а новая — 1 + c/(b + n). Так как b + n > b, новая дробь меньше.
Если a = b, обе дроби равны 1.
Ответ: дробь, большая 1, уменьшится; дробь, равная 1, не изменится.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
1) Сформулируй гипотезу о том, как изменяется правильная дробь, когда к её числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число. Докажи свою гипотезу, используя метод введения буквенных обозначений.
2) Выполни предыдущее задание для случая, когда данная дробь неправильная.
