Упр.321 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Сократимость дробей с p и q
С пояснением а) Пусть дробь p/q сократима. Значит, числа p и q делятся на одно и то же натуральное число d, большее 1.
1) Разность p − q делится на d, и q делится на d. Поэтому дробь (p − q)/q сократима.
2) Сумма p + q делится на d, и p делится на d. Поэтому дробь (p + q)/p сократима.
3) Число 2q делится на d, значит, разность p − 2q тоже делится на d. Число q делится на d, поэтому дробь (p − 2q)/q сократима.
б) Пусть дробь p/q несократима, то есть у чисел p и q нет общего делителя, большего 1.
1) Предположим, что дробь (p − q)/q сократима на число d. Тогда и p − q, и q делятся на d. Их сумма (p − q) + q = p тоже делится на d. Получается, что p/q сократима, а это неверно. Значит, дробь (p − q)/q несократима.
2) Если бы дробь (q + p)/p сокращалась на d, то на d делились бы q + p и p. Тогда разность (q + p) − p = q тоже делилась бы на d. Это невозможно, значит, дробь (q + p)/p несократима.
3) Если бы дробь (p − 2q)/q сокращалась на d, то на d делились бы p − 2q и q. Так как 2q делится на d, то сумма (p − 2q) + 2q = p также делилась бы на d. Получили противоречие. Значит, дробь (p − 2q)/q несократима.
Ответ: утверждения доказаны.
Кратко а) Если p и q делятся на число d > 1, то на d делятся:
p − q, p + q, p − 2q.
Поэтому дроби (p − q)/q, (p + q)/p, (p − 2q)/q сократимы.
б) Если, например, p − q и q делятся на d > 1, то p = (p − q) + q тоже делится на d. Это противоречит несократимости p/q.
Так же:
q = (q + p) − p;
p = (p − 2q) + 2q.
Поэтому дроби (p − q)/q, (q + p)/p, (p − 2q)/q несократимы.
Ответ: утверждения доказаны.
С пояснением а) Пусть дробь p/q сократима. Значит, числа p и q делятся на одно и то же натуральное число d, большее 1.
1) Разность p − q делится на d, и q делится на d. Поэтому дробь (p − q)/q сократима.
2) Сумма p + q делится на d, и p делится на d. Поэтому дробь (p + q)/p сократима.
3) Число 2q делится на d, значит, разность p − 2q тоже делится на d. Число q делится на d, поэтому дробь (p − 2q)/q сократима.
б) Пусть дробь p/q несократима, то есть у чисел p и q нет общего делителя, большего 1.
1) Предположим, что дробь (p − q)/q сократима на число d. Тогда и p − q, и q делятся на d. Их сумма (p − q) + q = p тоже делится на d. Получается, что p/q сократима, а это неверно. Значит, дробь (p − q)/q несократима.
2) Если бы дробь (q + p)/p сокращалась на d, то на d делились бы q + p и p. Тогда разность (q + p) − p = q тоже делилась бы на d. Это невозможно, значит, дробь (q + p)/p несократима.
3) Если бы дробь (p − 2q)/q сокращалась на d, то на d делились бы p − 2q и q. Так как 2q делится на d, то сумма (p − 2q) + 2q = p также делилась бы на d. Получили противоречие. Значит, дробь (p − 2q)/q несократима.
Ответ: утверждения доказаны.
Кратко а) Если p и q делятся на число d > 1, то на d делятся:
p − q, p + q, p − 2q.
Поэтому дроби (p − q)/q, (p + q)/p, (p − 2q)/q сократимы.
б) Если, например, p − q и q делятся на d > 1, то p = (p − q) + q тоже делится на d. Это противоречит несократимости p/q.
Так же:
q = (q + p) − p;
p = (p − 2q) + 2q.
Поэтому дроби (p − q)/q, (q + p)/p, (p − 2q)/q несократимы.
Ответ: утверждения доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Используя свойства делимости суммы, разности и произведения натуральных чисел, докажи, что
а) если дробь p/q сократима, то дроби p/q, (p-q)/q, (p+q)/p, (p-2q)q также сократимы;
б) если дробь p/q несократима, то дроби p/q, (p-q)/q, (q+p)/p, (p-2q)/q также несократимы.
