Упр.294 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Варианты решения:
Доказать свойства умножения дробей
С пояснением Пусть a, b, c, d, m, n — натуральные числа, причём b, d, n не равны 0.
а) 1) Переместительное свойство:
(a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d) = (c · a)/(d · b) = (c/d) · (a/b), так как от перестановки множителей произведение не меняется.
2) Сочетательное свойство:
((a/b) · (c/d)) · (m/n) = (ac/bd) · (m/n) = (acm)/(bdn).
(a/b) · ((c/d) · (m/n)) = (a/b) · (cm/dn) = (acm)/(bdn).
Значит, ((a/b) · (c/d)) · (m/n) = (a/b) · ((c/d) · (m/n)).
3) Распределительное свойство:
(a/b) · (c/d + m/n) = (a/b) · ((cn + dm)/(dn)) = (acn + adm)/(bdn).
(ac)/(bd) + (am)/(bn) = (acn)/(bdn) + (adm)/(bdn) = (acn + adm)/(bdn).
Значит, (a/b) · (c/d + m/n) = (a/b) · (c/d) + (a/b) · (m/n).
б) 1) a/b · 0 = a/b · 0/1 = 0/b = 0.
2) a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b.
Ответ: a/b · c/d = c/d · a/b; ((a/b) · (c/d)) · (m/n) = (a/b) · ((c/d) · (m/n)); a/b · (c/d + m/n) = a/b · c/d + a/b · m/n; a/b · 0 = 0; a/b · 1 = a/b.
Кратко Пусть b, d, n не равны 0.
а) a/b · c/d = ac/bd = ca/db = c/d · a/b.
((a/b) · (c/d)) · (m/n) = acm/bdn = (a/b) · ((c/d) · (m/n)).
(a/b) · (c/d + m/n) = a/b · (cn + dm)/dn = (acn + adm)/bdn;
ac/bd + am/bn = (acn + adm)/bdn.
Значит, a/b · (c/d + m/n) = a/b · c/d + a/b · m/n.
б) a/b · 0 = a/b · 0/1 = 0;
a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b.
Ответ: умножение дробей обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами; при умножении на 0 получается 0, при умножении на 1 дробь не изменяется.
С пояснением Пусть a, b, c, d, m, n — натуральные числа, причём b, d, n не равны 0.
а) 1) Переместительное свойство:
(a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d) = (c · a)/(d · b) = (c/d) · (a/b), так как от перестановки множителей произведение не меняется.
2) Сочетательное свойство:
((a/b) · (c/d)) · (m/n) = (ac/bd) · (m/n) = (acm)/(bdn).
(a/b) · ((c/d) · (m/n)) = (a/b) · (cm/dn) = (acm)/(bdn).
Значит, ((a/b) · (c/d)) · (m/n) = (a/b) · ((c/d) · (m/n)).
3) Распределительное свойство:
(a/b) · (c/d + m/n) = (a/b) · ((cn + dm)/(dn)) = (acn + adm)/(bdn).
(ac)/(bd) + (am)/(bn) = (acn)/(bdn) + (adm)/(bdn) = (acn + adm)/(bdn).
Значит, (a/b) · (c/d + m/n) = (a/b) · (c/d) + (a/b) · (m/n).
б) 1) a/b · 0 = a/b · 0/1 = 0/b = 0.
2) a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b.
Ответ: a/b · c/d = c/d · a/b; ((a/b) · (c/d)) · (m/n) = (a/b) · ((c/d) · (m/n)); a/b · (c/d + m/n) = a/b · c/d + a/b · m/n; a/b · 0 = 0; a/b · 1 = a/b.
Кратко Пусть b, d, n не равны 0.
а) a/b · c/d = ac/bd = ca/db = c/d · a/b.
((a/b) · (c/d)) · (m/n) = acm/bdn = (a/b) · ((c/d) · (m/n)).
(a/b) · (c/d + m/n) = a/b · (cn + dm)/dn = (acn + adm)/bdn;
ac/bd + am/bn = (acn + adm)/bdn.
Значит, a/b · (c/d + m/n) = a/b · c/d + a/b · m/n.
б) a/b · 0 = a/b · 0/1 = 0;
a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b.
Ответ: умножение дробей обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами; при умножении на 0 получается 0, при умножении на 1 дробь не изменяется.
Доказать свойства умножения дробей
Пусть a, c, e — неотрицательные целые числа, а b, d, f — натуральные числа. Обозначим x = a/b, y = c/d, z = e/f.
а) Переместительное свойство:
x · y = ac/(bd), y · x = ca/(db).
Так как ac = ca и bd = db, то x · y = y · x.
Сочетательное свойство:
(x · y) · z = (ac/(bd)) · e/f = ace/(bdf),
x · (y · z) = a/b · ce/(df) = ace/(bdf).
Следовательно, (x · y) · z = x · (y · z).
Распределительное свойство:
y + z = (cf + ed)/(df), поэтому
x · (y + z) = a(cf + ed)/(bdf) = (acf + aed)/(bdf).
При этом
x · y + x · z = ac/(bd) + ae/(bf) = (acf + aed)/(bdf).
Значит, x · (y + z) = x · y + x · z.
б) Умножение на 0 и на 1:
x · 0 = a/b · 0/1 = 0/b = 0;
x · 1 = a/b · 1/1 = a/b = x.
Ответ: x · y = y · x; (x · y) · z = x · (y · z); x · (y + z) = x · y + x · z; x · 0 = 0; x · 1 = x.
Пусть a, c, e — неотрицательные целые числа, а b, d, f — натуральные числа. Обозначим x = a/b, y = c/d, z = e/f.
а) Переместительное свойство:
x · y = ac/(bd), y · x = ca/(db).
Так как ac = ca и bd = db, то x · y = y · x.
Сочетательное свойство:
(x · y) · z = (ac/(bd)) · e/f = ace/(bdf),
x · (y · z) = a/b · ce/(df) = ace/(bdf).
Следовательно, (x · y) · z = x · (y · z).
Распределительное свойство:
y + z = (cf + ed)/(df), поэтому
x · (y + z) = a(cf + ed)/(bdf) = (acf + aed)/(bdf).
При этом
x · y + x · z = ac/(bd) + ae/(bf) = (acf + aed)/(bdf).
Значит, x · (y + z) = x · y + x · z.
б) Умножение на 0 и на 1:
x · 0 = a/b · 0/1 = 0/b = 0;
x · 1 = a/b · 1/1 = a/b = x.
Ответ: x · y = y · x; (x · y) · z = x · (y · z); x · (y + z) = x · y + x · z; x · 0 = 0; x · 1 = x.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Введи буквенные обозначения и докажи:
а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения дробей;
б) частные случаи умножения дробей на 0 и на 1.
