Упр.212 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Изобразить ε-окрестность точки 3 при ε = 1
Изобразить ε-окрестность точки 3 при ε = 1
С пояснением Определяемое понятие — ε-окрестность точки a.
1) 3 − 1 = 2 — левая граница окрестности.
2) 3 + 1 = 4 — правая граница окрестности.
3) Отмечаем на числовом луче все точки между 2 и 4. Точки 2 и 4 не входят в окрестность, потому что расстояние должно быть меньше 1.
0───1───○════●════○───5───→
2 3 4
Ответ: ε-окрестность точки 3 при ε = 1 — все точки между 2 и 4, не включая 2 и 4.
Кратко 3 − 1 = 2, 3 + 1 = 4.
0───1───○════●════○───5───→
2 3 4
○ — границы не входят, ● — точка 3.
Ответ: определяемое понятие — ε-окрестность; для точки 3 это все точки между 2 и 4, не включая границы.
С пояснением Определяемое понятие — ε-окрестность точки a.
1) 3 − 1 = 2 — левая граница окрестности.
2) 3 + 1 = 4 — правая граница окрестности.
3) Отмечаем на числовом луче все точки между 2 и 4. Точки 2 и 4 не входят в окрестность, потому что расстояние должно быть меньше 1.
0───1───○════●════○───5───→
2 3 4
Ответ: ε-окрестность точки 3 при ε = 1 — все точки между 2 и 4, не включая 2 и 4.
Кратко 3 − 1 = 2, 3 + 1 = 4.
0───1───○════●════○───5───→
2 3 4
○ — границы не входят, ● — точка 3.
Ответ: определяемое понятие — ε-окрестность; для точки 3 это все точки между 2 и 4, не включая границы.
Разбор 2 Проверь запись ε-окрестности
Проверь запись ε-окрестности
С пояснением Перевод верный, если ε — положительное число:
a − ε < x < a + ε.
Но на рисунке ошибка: расстояние не может быть отрицательным. От точки a до точки a − ε расстояние равно ε, а не −ε.
Ответ: перевод верный, но обозначение расстояния слева неверное.
Кратко a − ε < x < a + ε — верная запись.
Расстояние от a до a − ε равно ε, а не −ε.
Ответ: перевод верный, рисунок подписан неверно.
С пояснением Перевод верный, если ε — положительное число:
a − ε < x < a + ε.
Но на рисунке ошибка: расстояние не может быть отрицательным. От точки a до точки a − ε расстояние равно ε, а не −ε.
Ответ: перевод верный, но обозначение расстояния слева неверное.
Кратко a − ε < x < a + ε — верная запись.
Расстояние от a до a − ε равно ε, а не −ε.
Ответ: перевод верный, рисунок подписан неверно.
Разбор 3 Записать ε-окрестности двойными неравенствами
Варианты решения:
Записать ε-окрестности двойными неравенствами
С пояснением Для ε-окрестности точки a выполняется двойное неравенство: a − ε < x < a + ε. Концы промежутка не входят в ε-окрестность, поэтому на чертеже они отмечены пустыми кружками ○.
1) 4/9 − 2/9 < x < 4/9 + 2/9, то есть
2/9 < x < 2/3.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 9 равных частей: одна часть равна 1/9.
0 — 1/9 — ○2/9 — 3/9 — ●4/9 — 5/9 — ○6/9 — 7/9 — 8/9 — 1
ε-окрестность — часть прямой между кружками ○.
Принадлежит: 4/9. Не принадлежит: 2/9.
2) 3/10 − 1/5 < x < 3/10 + 1/5, то есть
1/10 < x < 1/2.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 10 равных частей: одна часть равна 1/10.
0 — ○1/10 — 2/10 — ●3/10 — 4/10 — ○5/10 — 6/10 — 7/10 — 8/10 — 9/10 — 1
Принадлежит: 3/10. Не принадлежит: 1/2.
3) 1/2 − 1/6 < x < 1/2 + 1/6, то есть
1/3 < x < 2/3.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 6 равных частей: одна часть равна 1/6.
0 — 1/6 — ○2/6 — ●3/6 — ○4/6 — 5/6 — 1
Принадлежит: 1/2. Не принадлежит: 1/3.
4) 5/12 − 1/4 < x < 5/12 + 1/4, то есть
1/6 < x < 2/3.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 12 равных частей: одна часть равна 1/12.
0 — 1/12 — ○2/12 — 3/12 — 4/12 — ●5/12 — 6/12 — 7/12 — ○8/12 — 9/12 — 10/12 — 11/12 — 1
Принадлежит: 5/12. Не принадлежит: 2/3.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
Кратко 1) 2/9 < x < 2/3. [0; 1] делим на 9 частей: ○2/9 — ●4/9 — ○6/9. Принадлежит 4/9, не принадлежит 2/9.
2) 1/10 < x < 1/2. [0; 1] делим на 10 частей: ○1/10 — ●3/10 — ○5/10. Принадлежит 3/10, не принадлежит 1/2.
3) 1/3 < x < 2/3. [0; 1] делим на 6 частей: ○2/6 — ●3/6 — ○4/6. Принадлежит 1/2, не принадлежит 1/3.
4) 1/6 < x < 2/3. [0; 1] делим на 12 частей: ○2/12 — ●5/12 — ○8/12. Принадлежит 5/12, не принадлежит 2/3.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
С пояснением Для ε-окрестности точки a выполняется двойное неравенство: a − ε < x < a + ε. Концы промежутка не входят в ε-окрестность, поэтому на чертеже они отмечены пустыми кружками ○.
1) 4/9 − 2/9 < x < 4/9 + 2/9, то есть
2/9 < x < 2/3.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 9 равных частей: одна часть равна 1/9.
0 — 1/9 — ○2/9 — 3/9 — ●4/9 — 5/9 — ○6/9 — 7/9 — 8/9 — 1
ε-окрестность — часть прямой между кружками ○.
Принадлежит: 4/9. Не принадлежит: 2/9.
2) 3/10 − 1/5 < x < 3/10 + 1/5, то есть
1/10 < x < 1/2.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 10 равных частей: одна часть равна 1/10.
0 — ○1/10 — 2/10 — ●3/10 — 4/10 — ○5/10 — 6/10 — 7/10 — 8/10 — 9/10 — 1
Принадлежит: 3/10. Не принадлежит: 1/2.
3) 1/2 − 1/6 < x < 1/2 + 1/6, то есть
1/3 < x < 2/3.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 6 равных частей: одна часть равна 1/6.
0 — 1/6 — ○2/6 — ●3/6 — ○4/6 — 5/6 — 1
Принадлежит: 1/2. Не принадлежит: 1/3.
4) 5/12 − 1/4 < x < 5/12 + 1/4, то есть
1/6 < x < 2/3.
Единичный отрезок [0; 1] разделим на 12 равных частей: одна часть равна 1/12.
0 — 1/12 — ○2/12 — 3/12 — 4/12 — ●5/12 — 6/12 — 7/12 — ○8/12 — 9/12 — 10/12 — 11/12 — 1
Принадлежит: 5/12. Не принадлежит: 2/3.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
Кратко 1) 2/9 < x < 2/3. [0; 1] делим на 9 частей: ○2/9 — ●4/9 — ○6/9. Принадлежит 4/9, не принадлежит 2/9.
2) 1/10 < x < 1/2. [0; 1] делим на 10 частей: ○1/10 — ●3/10 — ○5/10. Принадлежит 3/10, не принадлежит 1/2.
3) 1/3 < x < 2/3. [0; 1] делим на 6 частей: ○2/6 — ●3/6 — ○4/6. Принадлежит 1/2, не принадлежит 1/3.
4) 1/6 < x < 2/3. [0; 1] делим на 12 частей: ○2/12 — ●5/12 — ○8/12. Принадлежит 5/12, не принадлежит 2/3.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
Записать ε-окрестности двойными неравенствами
1) При ε = 2/9:
2/9 < x < 6/9 = 2/3.
Чертёж: [0; 1] разделить на 9 частей: ○2/9 — ●4/9 — ○6/9.
Принадлежит 1/3, не принадлежит 7/9.
2) При ε = 1/5:
1/10 < x < 5/10 = 1/2.
Чертёж: [0; 1] разделить на 10 частей: ○1/10 — ●3/10 — ○5/10.
Принадлежит 1/5, не принадлежит 0.
3) При ε = 1/6:
1/3 < x < 2/3.
Чертёж: [0; 1] разделить на 12 частей: ○4/12 — ●6/12 — ○8/12.
Принадлежит 7/12, не принадлежит 3/4.
4) При ε = 1/4:
1/6 < x < 2/3.
Чертёж: [0; 1] разделить на 12 частей: ○2/12 — ●5/12 — ○8/12.
Принадлежит 1/2, не принадлежит 1/12.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
1) При ε = 2/9:
2/9 < x < 6/9 = 2/3.
Чертёж: [0; 1] разделить на 9 частей: ○2/9 — ●4/9 — ○6/9.
Принадлежит 1/3, не принадлежит 7/9.
2) При ε = 1/5:
1/10 < x < 5/10 = 1/2.
Чертёж: [0; 1] разделить на 10 частей: ○1/10 — ●3/10 — ○5/10.
Принадлежит 1/5, не принадлежит 0.
3) При ε = 1/6:
1/3 < x < 2/3.
Чертёж: [0; 1] разделить на 12 частей: ○4/12 — ●6/12 — ○8/12.
Принадлежит 7/12, не принадлежит 3/4.
4) При ε = 1/4:
1/6 < x < 2/3.
Чертёж: [0; 1] разделить на 12 частей: ○2/12 — ●5/12 — ○8/12.
Принадлежит 1/2, не принадлежит 1/12.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
Записать ε-окрестности двойными неравенствами
1) Для точки 4/9:
4/9 − 2/9 < x < 4/9 + 2/9,
2/9 < x < 2/3.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 18 частей:
○4/18 — ●8/18 — ○12/18.
Принадлежит: 1/2. Не принадлежит: 1/9.
2) Для точки 3/10:
3/10 − 1/5 < x < 3/10 + 1/5,
1/10 < x < 1/2.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 20 частей:
○2/20 — ●6/20 — ○10/20.
Принадлежит: 7/20. Не принадлежит: 3/5.
3) Для точки 1/2:
1/2 − 1/6 < x < 1/2 + 1/6,
1/3 < x < 2/3.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 24 части:
○8/24 — ●12/24 — ○16/24.
Принадлежит: 5/12. Не принадлежит: 3/4.
4) Для точки 5/12:
5/12 − 1/4 < x < 5/12 + 1/4,
1/6 < x < 2/3.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 24 части:
○4/24 — ●10/24 — ○16/24.
Принадлежит: 1/3. Не принадлежит: 3/4.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
1) Для точки 4/9:
4/9 − 2/9 < x < 4/9 + 2/9,
2/9 < x < 2/3.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 18 частей:
○4/18 — ●8/18 — ○12/18.
Принадлежит: 1/2. Не принадлежит: 1/9.
2) Для точки 3/10:
3/10 − 1/5 < x < 3/10 + 1/5,
1/10 < x < 1/2.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 20 частей:
○2/20 — ●6/20 — ○10/20.
Принадлежит: 7/20. Не принадлежит: 3/5.
3) Для точки 1/2:
1/2 − 1/6 < x < 1/2 + 1/6,
1/3 < x < 2/3.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 24 части:
○8/24 — ●12/24 — ○16/24.
Принадлежит: 5/12. Не принадлежит: 3/4.
4) Для точки 5/12:
5/12 − 1/4 < x < 5/12 + 1/4,
1/6 < x < 2/3.
Чертёж: единичный отрезок разделить на 24 части:
○4/24 — ●10/24 — ○16/24.
Принадлежит: 1/3. Не принадлежит: 3/4.
Ответ: 2/9 < x < 2/3; 1/10 < x < 1/2; 1/3 < x < 2/3; 1/6 < x < 2/3.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
1) Прочитай определение и назови определяемое понятие (буква ? читается «эпсилон»):
«Множество точек числового луча, удалённых от точки а на расстояние меньшее, чем ?, называется ?-окрестностью точки а».
Изобрази с помощью числового луча ?-окростность точки 3 при ? = 1.
2) Используя чертёж, установи, верно ли сделан перевод приведенного определения на математический язык:
Точка х принадлежит ?-окрестности точки а < = > a - ? < x < a + ?
3) Пользуясь определением ?-окрестности, запиши в виде двойного неравенства ?-окрестности точек:
4/9, если ? = 2/9; 3/10, если ? = 1/5;
1/2, если ? = 1/6; 5/12, если ? = 1/4.
Проиллюстрируй ответы на чертеже, подобрав подходящие единичные отрезки.
Для каждой ?-окрестности запиши по одному числу, которое ей принадлежит, и по одному числу, которое ей не принадлежит.
