Упр.201 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1 Записать и доказать свойство сложения дробей
Записать и доказать свойство сложения дробей
С пояснением Переместительное свойство сложения дробей с общим знаменателем n:
1) Складываем дроби:
a/n + b/n = (a + b)/n.
2) Так как от перестановки слагаемых сумма не меняется, то a + b = b + a.
3) Поэтому:
(a + b)/n = (b + a)/n = b/n + a/n.
Значит,
a/n + b/n = b/n + a/n.
Ответ: от перестановки дробей с одинаковыми знаменателями их сумма не меняется.
Кратко a/n + b/n = (a + b)/n = (b + a)/n = b/n + a/n.
Ответ: a/n + b/n = b/n + a/n.
С пояснением Переместительное свойство сложения дробей с общим знаменателем n:
1) Складываем дроби:
a/n + b/n = (a + b)/n.
2) Так как от перестановки слагаемых сумма не меняется, то a + b = b + a.
3) Поэтому:
(a + b)/n = (b + a)/n = b/n + a/n.
Значит,
a/n + b/n = b/n + a/n.
Ответ: от перестановки дробей с одинаковыми знаменателями их сумма не меняется.
Кратко a/n + b/n = (a + b)/n = (b + a)/n = b/n + a/n.
Ответ: a/n + b/n = b/n + a/n.
Разбор 2 Сочетательное свойство сложения дробей
Сочетательное свойство сложения дробей
С пояснением Пусть даны дроби \(\frac{a}{n}, \frac{b}{n}\) и \(\frac{c}{n}\).
1) \(\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a+b}{n}+\frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{n}\).
2) \(\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}+\frac{b+c}{n}=\frac{a+b+c}{n}\).
3) Обе суммы равны \(\frac{a+b+c}{n}\), значит:
\[\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right).\]
Ответ: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями можно складывать их в любом порядке, объединяя первые или последние две дроби.
Кратко \[\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{n},\]
\[\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a+b+c}{n}.\]
Значит,
\[\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right).\]
Ответ: сочетательное свойство сложения дробей доказано.
С пояснением Пусть даны дроби \(\frac{a}{n}, \frac{b}{n}\) и \(\frac{c}{n}\).
1) \(\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a+b}{n}+\frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{n}\).
2) \(\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}+\frac{b+c}{n}=\frac{a+b+c}{n}\).
3) Обе суммы равны \(\frac{a+b+c}{n}\), значит:
\[\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right).\]
Ответ: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями можно складывать их в любом порядке, объединяя первые или последние две дроби.
Кратко \[\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{n},\]
\[\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a+b+c}{n}.\]
Значит,
\[\left(\frac{a}{n}+\frac{b}{n}\right)+\frac{c}{n}=\frac{a}{n}+\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right).\]
Ответ: сочетательное свойство сложения дробей доказано.
Разбор 3 Доказать правило вычитания числа из суммы дробей
Доказать правило вычитания числа из суммы дробей
С пояснением Пусть даны дроби a/n, b/n и c/n.
1) Запишем разность:
(a/n + b/n) − c/n = (a + b − c)/n.
2) Если a ≥ c, то:
(a + b − c)/n = (a − c + b)/n = (a/n − c/n) + b/n.
3) Если b ≥ c, то:
(a + b − c)/n = (a + b − c)/n = a/n + (b/n − c/n).
Получили то же значение. Значит, чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.
Ответ: (a/n + b/n) − c/n = (a/n − c/n) + b/n или (a/n + b/n) − c/n = a/n + (b/n − c/n).
Кратко Если a ≥ c, то
(a/n + b/n) − c/n = (a/n − c/n) + b/n.
Если b ≥ c, то
(a/n + b/n) − c/n = a/n + (b/n − c/n).
Ответ: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и к разности прибавить другое слагаемое.
С пояснением Пусть даны дроби a/n, b/n и c/n.
1) Запишем разность:
(a/n + b/n) − c/n = (a + b − c)/n.
2) Если a ≥ c, то:
(a + b − c)/n = (a − c + b)/n = (a/n − c/n) + b/n.
3) Если b ≥ c, то:
(a + b − c)/n = (a + b − c)/n = a/n + (b/n − c/n).
Получили то же значение. Значит, чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.
Ответ: (a/n + b/n) − c/n = (a/n − c/n) + b/n или (a/n + b/n) − c/n = a/n + (b/n − c/n).
Кратко Если a ≥ c, то
(a/n + b/n) − c/n = (a/n − c/n) + b/n.
Если b ≥ c, то
(a/n + b/n) − c/n = a/n + (b/n − c/n).
Ответ: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и к разности прибавить другое слагаемое.
Разбор 4 Вычесть сумму дробей из числа
Вычесть сумму дробей из числа
С пояснением Пусть a, b и c — натуральные числа, причём a ≥ b + c.
1) Сложим дроби в скобках:
\(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}=\frac{b+c}{n}\).
2) Вычтем полученную дробь из числа:
\(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{b+c}{n}=\frac{a-(b+c)}{n}\).
Значит, чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из числа каждое слагаемое суммы:
\(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{b}{n}-\frac{c}{n}\).
Ответ: \(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a-b-c}{n}\).
Кратко \(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{b+c}{n}=\frac{a-b-c}{n}\).
Ответ: чтобы вычесть сумму, можно вычесть каждое слагаемое: \(\frac{a}{n}-\frac{b}{n}-\frac{c}{n}\).
С пояснением Пусть a, b и c — натуральные числа, причём a ≥ b + c.
1) Сложим дроби в скобках:
\(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}=\frac{b+c}{n}\).
2) Вычтем полученную дробь из числа:
\(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{b+c}{n}=\frac{a-(b+c)}{n}\).
Значит, чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из числа каждое слагаемое суммы:
\(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{b}{n}-\frac{c}{n}\).
Ответ: \(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a-b-c}{n}\).
Кратко \(\frac{a}{n}-\left(\frac{b}{n}+\frac{c}{n}\right)=\frac{a}{n}-\frac{b+c}{n}=\frac{a-b-c}{n}\).
Ответ: чтобы вычесть сумму, можно вычесть каждое слагаемое: \(\frac{a}{n}-\frac{b}{n}-\frac{c}{n}\).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Для дробей с общим знаменателем n запиши в буквенном виде и докажи:
1) переместительное свойство сложения;
2) сочетательное свойство сложения;
3) правило вычитания числа из суммы;
4) правило вычитания суммы из числа.
