Упр.156 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1
Утверждение о дроби со знаменателем 2
С пояснением Это утверждение о существовании, так как говорится: «Существует».
1) Возьмём дробь 1/2.
2) 1 < 2, значит, числитель меньше знаменателя. Дробь 1/2 правильная.
Ответ: утверждение верное; существует правильная дробь со знаменателем 2 — 1/2.
Кратко Утверждение о существовании.
1/2 — правильная дробь, так как 1 < 2.
Ответ: утверждение верное.
С пояснением Это утверждение о существовании, так как говорится: «Существует».
1) Возьмём дробь 1/2.
2) 1 < 2, значит, числитель меньше знаменателя. Дробь 1/2 правильная.
Ответ: утверждение верное; существует правильная дробь со знаменателем 2 — 1/2.
Кратко Утверждение о существовании.
1/2 — правильная дробь, так как 1 < 2.
Ответ: утверждение верное.
Разбор 2
Определи тип и проверь утверждение
С пояснением Утверждение «Существует неправильная дробь с числителем 2» — это утверждение о существовании, так как говорится, что есть хотя бы одна такая дробь.
1) Возьмём дробь 2/2.
2) В этой дроби числитель равен знаменателю, значит, дробь неправильная.
Ответ: утверждение верное, например 2/2.
Кратко Это утверждение о существовании.
2/2 — неправильная дробь, так как числитель равен знаменателю.
Ответ: утверждение верное.
С пояснением Утверждение «Существует неправильная дробь с числителем 2» — это утверждение о существовании, так как говорится, что есть хотя бы одна такая дробь.
1) Возьмём дробь 2/2.
2) В этой дроби числитель равен знаменателю, значит, дробь неправильная.
Ответ: утверждение верное, например 2/2.
Кратко Это утверждение о существовании.
2/2 — неправильная дробь, так как числитель равен знаменателю.
Ответ: утверждение верное.
Разбор 3
Сравнить правильные и неправильные дроби
С пояснением Утверждение «Любая правильная дробь меньше любой неправильной» — общее, так как говорится о всех правильных и всех неправильных дробях.
Утверждений о существовании типа «хотя бы один» здесь нет.
1) Любая правильная дробь меньше 1.
2) Любая неправильная дробь равна 1 или больше 1.
3) Значит, правильная дробь всегда меньше неправильной.
Например: 3/5 < 1, а 7/5 > 1, поэтому 3/5 < 7/5.
Ответ: утверждение верное.
Кратко «Любая правильная дробь меньше любой неправильной» — общее утверждение.
Утверждений типа «хотя бы один» нет.
Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь равна 1 или больше 1. Значит, любая правильная дробь меньше любой неправильной.
Ответ: утверждение верное.
С пояснением Утверждение «Любая правильная дробь меньше любой неправильной» — общее, так как говорится о всех правильных и всех неправильных дробях.
Утверждений о существовании типа «хотя бы один» здесь нет.
1) Любая правильная дробь меньше 1.
2) Любая неправильная дробь равна 1 или больше 1.
3) Значит, правильная дробь всегда меньше неправильной.
Например: 3/5 < 1, а 7/5 > 1, поэтому 3/5 < 7/5.
Ответ: утверждение верное.
Кратко «Любая правильная дробь меньше любой неправильной» — общее утверждение.
Утверждений типа «хотя бы один» нет.
Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь равна 1 или больше 1. Значит, любая правильная дробь меньше любой неправильной.
Ответ: утверждение верное.
Разбор 4
Определи вид и проверь утверждение
С пояснением Это общее утверждение, так как говорится о любых двух дробях с равными знаменателями.
Утверждение неверно. Например, у дробей 1/5 и 2/5 знаменатели равны: 5 = 5, но сами дроби не равны, так как 1/5 < 2/5.
Ответ: это общее, но ложное утверждение.
Кратко Общее утверждение. Оно неверно: 1/5 и 2/5 имеют равные знаменатели, но 1/5 ≠ 2/5.
Ответ: утверждение опровергнуто.
С пояснением Это общее утверждение, так как говорится о любых двух дробях с равными знаменателями.
Утверждение неверно. Например, у дробей 1/5 и 2/5 знаменатели равны: 5 = 5, но сами дроби не равны, так как 1/5 < 2/5.
Ответ: это общее, но ложное утверждение.
Кратко Общее утверждение. Оно неверно: 1/5 и 2/5 имеют равные знаменатели, но 1/5 ≠ 2/5.
Ответ: утверждение опровергнуто.
Разбор 5
Определи вид и докажи утверждение
С пояснением Это общее утверждение, так как оно относится к любой дроби, у которой числитель и знаменатель кратны 5.
Пусть числитель и знаменатель дроби делятся на 5. Значит, у них есть общий делитель 5.
Дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1, можно сократить на этот делитель.
Следовательно, утверждение верно: такая дробь сократима.
Ответ: общее утверждение, верно.
Кратко Это общее утверждение: оно говорится о любой дроби с числителем и знаменателем, кратными 5.
Числитель и знаменатель делятся на 5, значит дробь можно сократить на 5.
Ответ: утверждение верно.
С пояснением Это общее утверждение, так как оно относится к любой дроби, у которой числитель и знаменатель кратны 5.
Пусть числитель и знаменатель дроби делятся на 5. Значит, у них есть общий делитель 5.
Дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1, можно сократить на этот делитель.
Следовательно, утверждение верно: такая дробь сократима.
Ответ: общее утверждение, верно.
Кратко Это общее утверждение: оно говорится о любой дроби с числителем и знаменателем, кратными 5.
Числитель и знаменатель делятся на 5, значит дробь можно сократить на 5.
Ответ: утверждение верно.
Разбор 6
Проверь утверждение о сократимости дроби
С пояснением Данное утверждение является общим: оно говорит о любой дроби.
Утверждений о существовании типа «хотя бы одна дробь...» здесь нет.
Утверждение неверно.
1) Если числитель и знаменатель кратны 5, то дробь можно сократить на 5. Например: 10/15 = 2/3.
2) Но дробь может быть сократимой, хотя её числитель и знаменатель не кратны 5. Например: 2/4 = 1/2, так как 2 и 4 делятся на 2.
Значит, сократимая дробь не обязательно имеет числитель и знаменатель, кратные 5.
Ответ: утверждение опровергнуто.
Кратко Это общее утверждение. Утверждений о существовании здесь нет.
2/4 = 1/2, поэтому дробь сократима, но 2 и 4 не кратны 5.
Ответ: утверждение неверно.
С пояснением Данное утверждение является общим: оно говорит о любой дроби.
Утверждений о существовании типа «хотя бы одна дробь...» здесь нет.
Утверждение неверно.
1) Если числитель и знаменатель кратны 5, то дробь можно сократить на 5. Например: 10/15 = 2/3.
2) Но дробь может быть сократимой, хотя её числитель и знаменатель не кратны 5. Например: 2/4 = 1/2, так как 2 и 4 делятся на 2.
Значит, сократимая дробь не обязательно имеет числитель и знаменатель, кратные 5.
Ответ: утверждение опровергнуто.
Кратко Это общее утверждение. Утверждений о существовании здесь нет.
2/4 = 1/2, поэтому дробь сократима, но 2 и 4 не кратны 5.
Ответ: утверждение неверно.
Разбор 7
Определи вид и проверь утверждение
С пояснением Это общее утверждение: оно говорит о любой дроби. Утверждений о существовании, в которых есть слова «хотя бы одна», «существует», здесь нет.
Утверждение неверно.
1) Рассмотрим дробь 2/4.
2) Она сократима: 2/4 = 1/2.
3) Числитель 2 не кратен знаменателю 4, так как 2 нельзя разделить на 4 без остатка.
Значит, сократимая дробь не всегда имеет числитель, кратный знаменателю.
Ответ: утверждение общее; утверждений о существовании нет; данное утверждение опровергнуто дробью 2/4.
Кратко Общее утверждение — «Дробь сократима в том и только в том случае, когда её числитель кратен знаменателю».
Утверждений о существовании нет.
2/4 = 1/2, значит, дробь сократима, но 2 не кратно 4.
Ответ: утверждение неверно.
С пояснением Это общее утверждение: оно говорит о любой дроби. Утверждений о существовании, в которых есть слова «хотя бы одна», «существует», здесь нет.
Утверждение неверно.
1) Рассмотрим дробь 2/4.
2) Она сократима: 2/4 = 1/2.
3) Числитель 2 не кратен знаменателю 4, так как 2 нельзя разделить на 4 без остатка.
Значит, сократимая дробь не всегда имеет числитель, кратный знаменателю.
Ответ: утверждение общее; утверждений о существовании нет; данное утверждение опровергнуто дробью 2/4.
Кратко Общее утверждение — «Дробь сократима в том и только в том случае, когда её числитель кратен знаменателю».
Утверждений о существовании нет.
2/4 = 1/2, значит, дробь сократима, но 2 не кратно 4.
Ответ: утверждение неверно.
Разбор 8
Определи вид и докажи утверждение
С пояснением Это общее утверждение: оно относится к любой дроби. Утверждений о существовании («хотя бы одна дробь...») здесь нет.
1) Если дробь сократима, то её числитель и знаменатель делятся на одно и то же число больше 1.
Значит, их НОД не меньше этого числа, поэтому НОД больше 1.
2) Если НОД числителя и знаменателя больше 1, то на этот НОД можно разделить и числитель, и знаменатель.
Значит, дробь можно сократить.
Следовательно, утверждение верное.
Ответ: дробь сократима тогда и только тогда, когда НОД её числителя и знаменателя больше 1.
Кратко Это общее утверждение, утверждения о существовании нет.
Если дробь сокращается, её числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1, значит, НОД больше 1.
Если НОД больше 1, на него можно разделить числитель и знаменатель, значит, дробь сократима.
Ответ: утверждение верное.
С пояснением Это общее утверждение: оно относится к любой дроби. Утверждений о существовании («хотя бы одна дробь...») здесь нет.
1) Если дробь сократима, то её числитель и знаменатель делятся на одно и то же число больше 1.
Значит, их НОД не меньше этого числа, поэтому НОД больше 1.
2) Если НОД числителя и знаменателя больше 1, то на этот НОД можно разделить и числитель, и знаменатель.
Значит, дробь можно сократить.
Следовательно, утверждение верное.
Ответ: дробь сократима тогда и только тогда, когда НОД её числителя и знаменателя больше 1.
Кратко Это общее утверждение, утверждения о существовании нет.
Если дробь сокращается, её числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1, значит, НОД больше 1.
Если НОД больше 1, на него можно разделить числитель и знаменатель, значит, дробь сократима.
Ответ: утверждение верное.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
Найди общие утверждения и утверждения о существовании (типа «хотя бы один»). Докажи или опровергни их.
1) Существует правильная дробь со знаменателем 2.
2) Существует неправильная дробь с числителем 2.
3) Любая правильная дробь меньше любой неправильной.
4) Две дроби с равными знаменателями равны.
5) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 5, сократима.
6) Дробь сократима тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель кратны 5.
7) Дробь сократима в том и только в том случае, когда её числитель кратен знаменателю.
8) Дробь сократима, если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше 1.
