Упр.113 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Разбор 1
Назвать понятие по определению
С пояснением:
Это диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины.
Ответ: диагональ многоугольника.
Кратко:
Диагональ многоугольника.
Ответ: диагональ многоугольника.
С пояснением:
Это диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины.
Ответ: диагональ многоугольника.
Кратко:
Диагональ многоугольника.
Ответ: диагональ многоугольника.
Разбор 2
Определить диагонали четырёхугольников
С пояснением:
Диагональ четырёхугольника соединяет две его несоседние вершины.
1) EC не является диагональю: точка E не является вершиной четырёхугольника ABCD.
2) NL — диагональ четырёхугольника MNQL: точки N и L — несоседние вершины.
3) XY не является диагональю: точки X и Y не являются вершинами четырёхугольника PRST.
4) FZ — диагональ четырёхугольника FKZV: точки F и Z — несоседние вершины.
У четырёхугольника 2 диагонали.
Этот вывод относится и к прямоугольникам, и к квадратам, потому что они тоже являются четырёхугольниками и имеют по 2 диагонали.
Ответ: диагонали NL и FZ; всего 2 диагонали.
Кратко:
Диагонали: NL и FZ.
EC и XY не являются диагоналями, так как их концы не являются двумя несоседними вершинами четырёхугольника.
У каждого четырёхугольника, в том числе у прямоугольника и квадрата, по 2 диагонали.
Ответ: NL и FZ; 2 диагонали.
С пояснением:
Диагональ четырёхугольника соединяет две его несоседние вершины.
1) EC не является диагональю: точка E не является вершиной четырёхугольника ABCD.
2) NL — диагональ четырёхугольника MNQL: точки N и L — несоседние вершины.
3) XY не является диагональю: точки X и Y не являются вершинами четырёхугольника PRST.
4) FZ — диагональ четырёхугольника FKZV: точки F и Z — несоседние вершины.
У четырёхугольника 2 диагонали.
Этот вывод относится и к прямоугольникам, и к квадратам, потому что они тоже являются четырёхугольниками и имеют по 2 диагонали.
Ответ: диагонали NL и FZ; всего 2 диагонали.
Кратко:
Диагонали: NL и FZ.
EC и XY не являются диагоналями, так как их концы не являются двумя несоседними вершинами четырёхугольника.
У каждого четырёхугольника, в том числе у прямоугольника и квадрата, по 2 диагонали.
Ответ: NL и FZ; 2 диагонали.
Разбор 3
Варианты решения:
Число диагоналей многоугольника
С пояснением:
1) Из каждой вершины n-угольника можно провести диагонали к n − 3 вершинам: к самой себе и к двум соседним вершинам диагонали не проводят.
2) Получится n · (n − 3) диагоналей, но каждая диагональ при таком подсчёте учтена дважды — с обоих её концов. Поэтому число диагоналей равно n · (n − 3) : 2.
3) Проверим:
при n = 3: 3 · (3 − 3) : 2 = 0 (диагоналей);
при n = 4: 4 · (4 − 3) : 2 = 2 (диагонали);
при n = 5: 5 · (5 − 3) : 2 = 5 (диагоналей);
при n = 6: 6 · (6 − 3) : 2 = 9 (диагоналей).
4) У пятиугольника 5 диагоналей, у шестиугольника 9 диагоналей, у семиугольника: 7 · (7 − 3) : 2 = 14 (диагоналей).
5) 100 · (100 − 3) : 2 = 4850 (диагоналей) — у 100-угольника.
6) 1000 · (1000 − 3) : 2 = 498500 (диагоналей) — у 1000-угольника.
Ответ: 5, 9, 14; число диагоналей n-угольника равно n · (n − 3) : 2; у 100-угольника — 4850, у 1000-угольника — 498500.
Кратко:
Пятиугольник — 5 диагоналей, шестиугольник — 9, семиугольник — 14.
Число диагоналей n-угольника:
n · (n − 3) : 2.
Проверка: 3 — 0, 4 — 2, 5 — 5, 6 — 9.
100 · 97 : 2 = 4850 (диагоналей).
1000 · 997 : 2 = 498500 (диагоналей).
Ответ: у 100-угольника 4850 диагоналей, у 1000-угольника 498500 диагоналей.
С пояснением:
1) Из каждой вершины n-угольника можно провести диагонали к n − 3 вершинам: к самой себе и к двум соседним вершинам диагонали не проводят.
2) Получится n · (n − 3) диагоналей, но каждая диагональ при таком подсчёте учтена дважды — с обоих её концов. Поэтому число диагоналей равно n · (n − 3) : 2.
3) Проверим:
при n = 3: 3 · (3 − 3) : 2 = 0 (диагоналей);
при n = 4: 4 · (4 − 3) : 2 = 2 (диагонали);
при n = 5: 5 · (5 − 3) : 2 = 5 (диагоналей);
при n = 6: 6 · (6 − 3) : 2 = 9 (диагоналей).
4) У пятиугольника 5 диагоналей, у шестиугольника 9 диагоналей, у семиугольника: 7 · (7 − 3) : 2 = 14 (диагоналей).
5) 100 · (100 − 3) : 2 = 4850 (диагоналей) — у 100-угольника.
6) 1000 · (1000 − 3) : 2 = 498500 (диагоналей) — у 1000-угольника.
Ответ: 5, 9, 14; число диагоналей n-угольника равно n · (n − 3) : 2; у 100-угольника — 4850, у 1000-угольника — 498500.
Кратко:
Пятиугольник — 5 диагоналей, шестиугольник — 9, семиугольник — 14.
Число диагоналей n-угольника:
n · (n − 3) : 2.
Проверка: 3 — 0, 4 — 2, 5 — 5, 6 — 9.
100 · 97 : 2 = 4850 (диагоналей).
1000 · 997 : 2 = 498500 (диагоналей).
Ответ: у 100-угольника 4850 диагоналей, у 1000-угольника 498500 диагоналей.
Число диагоналей многоугольника
1) Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних. Поэтому получаем:
пятиугольник: 5 · 2 : 2 = 5;
шестиугольник: 6 · 3 : 2 = 9;
семиугольник: 7 · 4 : 2 = 14.
2) Гипотеза: у n-угольника n · (n − 3) : 2 диагоналей. Делим на 2, потому что каждую диагональ считаем от двух её концов.
3) Проверим гипотезу:
3 · 0 : 2 = 0;
4 · 1 : 2 = 2;
5 · 2 : 2 = 5;
6 · 3 : 2 = 9.
4) (100 · 97) : 2 = 9700 : 2 = 4850 (диагоналей).
5) (1000 · 997) : 2 = 997000 : 2 = 498500 (диагоналей).
Ответ: у пятиугольника 5 диагоналей, у шестиугольника 9, у семиугольника 14; у 100-угольника 4850 диагоналей, у 1000-угольника 498500 диагоналей.
1) Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних. Поэтому получаем:
пятиугольник: 5 · 2 : 2 = 5;
шестиугольник: 6 · 3 : 2 = 9;
семиугольник: 7 · 4 : 2 = 14.
2) Гипотеза: у n-угольника n · (n − 3) : 2 диагоналей. Делим на 2, потому что каждую диагональ считаем от двух её концов.
3) Проверим гипотезу:
3 · 0 : 2 = 0;
4 · 1 : 2 = 2;
5 · 2 : 2 = 5;
6 · 3 : 2 = 9.
4) (100 · 97) : 2 = 9700 : 2 = 4850 (диагоналей).
5) (1000 · 997) : 2 = 997000 : 2 = 498500 (диагоналей).
Ответ: у пятиугольника 5 диагоналей, у шестиугольника 9, у семиугольника 14; у 100-угольника 4850 диагоналей, у 1000-угольника 498500 диагоналей.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином:
1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий любые две его несоседние вершины.
2) Какие из отрезков на чертеже являются диагоналями четырёхугольников? Сколько всего диагоналей у четырёхугольника? Можно ли отнести полученный вывод к прямоугольникам, квадратам? Почему?
3) Сколько диагоналей у пятиугольника, шестиугольника, семиугольника? Сформулируй гипотезу о числе диагоналей у n-угольника, проверь её для n = 3, 4, 5, 6 и попробуй обосновать. Пользуясь установленной закономерностью, найди число диагоналей 100-угольника, 1000-угольника.
