Упр.100 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)
Решение #1
Решение #2ИИ
Равносильность преобразованных пропорцийС пояснением
Во всех случаях исходная пропорция имеет смысл при b ≠ 0 и d ≠ 0. По основному свойству пропорции:
a/b = c/d ⇔ ad = bc.1) (a + b)/b = a/b + 1, (c + d)/d = c/d + 1.
Значит, к обеим частям исходной пропорции прибавили 1, поэтому пропорция равносильна исходной.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.2) (a − b)/b = a/b − 1, (c − d)/d = c/d − 1.
Из обеих частей исходной пропорции вычли 1.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.3) (b − a)/b = 1 − a/b, (d − c)/d = 1 − c/d.
Из 1 вычли равные дроби.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.4) a/(a + b) = c/(c + d), так как
a(c + d) = ac + ad = ac + bc = c(a + b).
Обратно, из a(c + d) = c(a + b) после сокращения ac получаем ad = bc.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.5) a/(a − b) = c/(c − d), так как
a(c − d) = ac − ad = ac − bc = c(a − b).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0.6) a/(b − a) = c/(d − c), так как
a(d − c) = ad − ac = bc − ac = c(b − a).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, b − a ≠ 0, d − c ≠ 0.7) Для обеих пропорций перемножим крайние и средние члены:
(a + b)(c − d) = (c + d)(a − b).
После раскрытия скобок получаем:
ac − ad + bc − bd = ac − bc + ad − bd,
2bc = 2ad,
bc = ad.
Это основное свойство исходной пропорции. Значит,
(a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d) ⇔ a/b = c/d ⇔ (a + b)/(c + d) = (a − b)/(c − d).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.Ответ: все данные пропорции равносильны исходной при указанных условиях.
Кратко a/b = c/d ⇔ ad = bc, где b ≠ 0 и d ≠ 0.1) (a + b)/b = a/b + 1, (c + d)/d = c/d + 1.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.2) (a − b)/b = a/b − 1, (c − d)/d = c/d − 1.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.3) (b − a)/b = 1 − a/b, (d − c)/d = 1 − c/d.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.4) a(c + d) = ac + ad = ac + bc = c(a + b).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.5) a(c − d) = ac − ad = ac − bc = c(a − b).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0.6) a(d − c) = ad − ac = bc − ac = c(b − a).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, b − a ≠ 0, d − c ≠ 0.7) Обе пропорции равносильны условию ad = bc.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.Ответ: все утверждения истинны при указанных условиях.
a/b = c/d ⇔ ad = bc.1) (a + b)/b = a/b + 1, (c + d)/d = c/d + 1.
Значит, к обеим частям исходной пропорции прибавили 1, поэтому пропорция равносильна исходной.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.2) (a − b)/b = a/b − 1, (c − d)/d = c/d − 1.
Из обеих частей исходной пропорции вычли 1.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.3) (b − a)/b = 1 − a/b, (d − c)/d = 1 − c/d.
Из 1 вычли равные дроби.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.4) a/(a + b) = c/(c + d), так как
a(c + d) = ac + ad = ac + bc = c(a + b).
Обратно, из a(c + d) = c(a + b) после сокращения ac получаем ad = bc.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.5) a/(a − b) = c/(c − d), так как
a(c − d) = ac − ad = ac − bc = c(a − b).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0.6) a/(b − a) = c/(d − c), так как
a(d − c) = ad − ac = bc − ac = c(b − a).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, b − a ≠ 0, d − c ≠ 0.7) Для обеих пропорций перемножим крайние и средние члены:
(a + b)(c − d) = (c + d)(a − b).
После раскрытия скобок получаем:
ac − ad + bc − bd = ac − bc + ad − bd,
2bc = 2ad,
bc = ad.
Это основное свойство исходной пропорции. Значит,
(a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d) ⇔ a/b = c/d ⇔ (a + b)/(c + d) = (a − b)/(c − d).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.Ответ: все данные пропорции равносильны исходной при указанных условиях.
Кратко a/b = c/d ⇔ ad = bc, где b ≠ 0 и d ≠ 0.1) (a + b)/b = a/b + 1, (c + d)/d = c/d + 1.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.2) (a − b)/b = a/b − 1, (c − d)/d = c/d − 1.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.3) (b − a)/b = 1 − a/b, (d − c)/d = 1 − c/d.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0.4) a(c + d) = ac + ad = ac + bc = c(a + b).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.5) a(c − d) = ac − ad = ac − bc = c(a − b).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0.6) a(d − c) = ad − ac = bc − ac = c(b − a).
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, b − a ≠ 0, d − c ≠ 0.7) Обе пропорции равносильны условию ad = bc.
Условия: b ≠ 0, d ≠ 0, a − b ≠ 0, c − d ≠ 0, a + b ≠ 0, c + d ≠ 0.Ответ: все утверждения истинны при указанных условиях.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение:
Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны:
1) a/b=c/d - > (a+b)/b=(c+d)/d;
2) a/b=c/d - > (a-b)/b=(c-d)/d;
3) a/b=c/d - > (b-a)/b=(d-c)/d;
4) a/b=c/d - > a/(a+b)=c/(c+d);
5) a/b=c/d - > a/(a-b)=c/(c-d);
6) a/b=c/d - > a/(b-a)=c/(d-c);
7) a/b=c/d - > (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) - > (a+b)/(c+d)=(a-b)/(c-d).
